Sujets à traiter pendant le stage
---------------------------------

(ceci n'est pas un planning hebdomadaire)



0. Coordonnées elliptiques, transformation inverse, laplacien

1. L'équation de Helmholtz sur ellipse amène aux équations de Mathieu

2. Étude visuel/analytique de toutes les fonctions de Mathieu, de leurs
racines, et des racines de leurs dérivées.  Étude de la distribution des
racines selon les paramètres.

3. Méthodes de calcul numérique des fonctions de Mathieu des deux types
(literature review)

4. Développement d'un algorithme de calcul des racines de Mathieu radiales
(1. estimation initiale, 2. itérations de Newton)

5. Étude visuel des modes propres d'une ellipse (Neumann et Dirichlet si
possible) avec toutes les combinaisons possibles.

6. Vérification numérique de l'équation de Helmholtz pour les fonctions
construites.  Le calcul se fait en échantillonnant les fonctions sur une
grille régulière fixe et le laplacien de 5 points.  Il faut étudier quelle
est la résolution nécessaire pour chaque famille de fonctions propres.
Par exemple, il faut tracer l'erreur (max, avg, rms) en fonction de n ou
de \lambda_n, et cela pour quelques résolutions différences.

7. Construction exhaustive des valeurs propres et vérification numérique de
la conjecture de Polya.

8. Vérification de la condition d'orthogonalité, et essai de représentation
d'une fonction quelconque dans cette base.

9. Étude des modes propres qui sont actifs quand on essaye de représenter le
tracé d'une trajectoire périodique.

COMMENTAIRE: en tout moment, il est conseillé de faire d'abord les mêmes
expériences avec le cas du disque et des fonctions de Bessel.