Add Boolean Rings (#1146)

* Add Boolean Rings

* Changed To to an arrow per Felix' comment.

* Removed superfluous brackets per Felix' comment.

* missed on parenthesis.

* Changed names to comply with NAMING.md

* Added fixities for /\,\/ and neg and removed parentheses

Cubical/Algebra/BooleanRing.agda

@@ -0,0 +1,4 @@
+{-# OPTIONS --safe #-}
+module Cubical.Algebra.BooleanRing where
+
+open import Cubical.Algebra.BooleanRing.Base public

Cubical/Algebra/BooleanRing/Base.agda

@@ -0,0 +1,251 @@
+{-# OPTIONS --safe #-}
+module Cubical.Algebra.BooleanRing.Base where
+
+open import Cubical.Foundations.Prelude hiding (_∧_;_∨_)
+open import Cubical.Foundations.Structure
+open import Cubical.Data.Empty as ⊥
+open import Cubical.Algebra.Ring
+open import Cubical.Algebra.AbGroup.Base
+open import Cubical.Algebra.CommRing
+open import Cubical.Tactics.CommRingSolver
+
+
+private
+  variable
+   ℓ ℓ' : Level
+
+record IsBooleanRing {B : Type ℓ}
+  (𝟘 𝟙 : B) (_+_ _·_ : B → B → B) (-_ : B → B) : Type ℓ where
+  no-eta-equality
+
+  field
+    isCommRing   : IsCommRing 𝟘 𝟙 _+_ _·_ -_
+    ·Idem : (x : B) → x · x ≡ x
+
+  open IsCommRing isCommRing public
+
+record BooleanStr (A : Type ℓ) : Type (ℓ-suc ℓ) where
+  field
+    𝟘          : A
+    𝟙          : A
+    _+_        : A → A → A
+    _·_        : A → A → A
+    -_         : A → A
+    isBooleanRing : IsBooleanRing 𝟘 𝟙 _+_ _·_ -_
+
+  infix  8 -_
+  infixl 7 _·_
+  infixl 6 _+_
+
+  open IsBooleanRing isBooleanRing public
+
+BooleanRing : ∀ ℓ → Type (ℓ-suc ℓ)
+BooleanRing ℓ = TypeWithStr ℓ BooleanStr
+
+BooleanStr→CommRingStr : { A : Type ℓ } →  BooleanStr A  → CommRingStr A
+BooleanStr→CommRingStr x = record { isCommRing = IsBooleanRing.isCommRing (BooleanStr.isBooleanRing x) }
+
+BooleanRing→CommRing : BooleanRing ℓ → CommRing ℓ
+BooleanRing→CommRing (carrier , structure ) = carrier , BooleanStr→CommRingStr structure
+
+module BooleanAlgebraStr (A : BooleanRing ℓ)  where
+  open BooleanStr (A . snd)
+  _∨_ : ⟨ A ⟩ → ⟨ A ⟩ → ⟨ A ⟩
+  a ∨ b = (a + b) + (a · b)
+  _∧_ : ⟨ A ⟩ → ⟨ A ⟩ → ⟨ A ⟩
+  a ∧ b = a · b
+  ¬_ : ⟨ A ⟩ → ⟨ A ⟩
+  ¬ a = 𝟙 + a
+
+  infix  8 ¬_
+  infixl 7 _∧_
+  infixl 6 _∨_
+
+  variable x y z : ⟨ A ⟩
+
+  ∧Idem : x ∧ x ≡ x
+  ∧Idem = ·Idem _
+
+  ∧Assoc : x ∧ ( y ∧ z ) ≡ ( x ∧ y ) ∧ z
+  ∧Assoc = ·Assoc _ _ _
+
+  ∧Comm :  x ∧ y ≡ y ∧ x
+  ∧Comm = ·Comm _ _
+
+  ∨Assoc : (x ∨ ( y ∨ z ) ≡ ( x ∨ y ) ∨ z )
+  ∨Assoc =  solve! (BooleanRing→CommRing A)
+
+  ∨Comm : x ∨ y ≡ y ∨ x
+  ∨Comm  = solve! (BooleanRing→CommRing A)
+
+  ∨IdR : x ∨ 𝟘 ≡ x
+  ∨IdR = solve! (BooleanRing→CommRing A)
+
+  ∨IdL : 𝟘 ∨ x ≡ x
+  ∨IdL = solve! (BooleanRing→CommRing A)
+
+  ∧IdR : x ∧ 𝟙 ≡ x
+  ∧IdR = ·IdR _
+
+  ∧IdL : 𝟙 ∧ x ≡ x
+  ∧IdL = ·IdL _
+
+  ∧AnnihilR : x ∧ 𝟘 ≡ 𝟘
+  ∧AnnihilR = RingTheory.0RightAnnihilates (CommRing→Ring (BooleanRing→CommRing A)) _
+
+  ∧AnnihilL : 𝟘 ∧ x ≡ 𝟘
+  ∧AnnihilL = RingTheory.0LeftAnnihilates (CommRing→Ring (BooleanRing→CommRing A)) _
+
+  -IsId : x + x ≡ 𝟘
+  -IsId {x = x} =  RingTheory.+Idempotency→0 (CommRing→Ring (BooleanRing→CommRing A)) (x + x) 2x≡4x
+    where
+      2x≡4x : x + x ≡ (x + x) + (x + x)
+      2x≡4x =
+        x + x
+          ≡⟨ sym (·Idem (x + x)) ⟩
+        (x + x) · (x + x)
+          ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+        ((x · x) + (x · x)) + ((x · x) + (x · x))
+          ≡⟨ cong₂ _+_ (cong₂ _+_ (·Idem x) (·Idem x)) (cong₂ _+_ (·Idem x) (·Idem x)) ⟩
+        (x + x) + (x + x) ∎
+
+  ∨Idem   : x ∨ x ≡ x
+  ∨Idem { x = x } =
+    x + x + x · x
+      ≡⟨ cong (λ y → y + x · x) -IsId ⟩
+    𝟘  + x · x
+      ≡⟨ +IdL (x · x) ⟩
+    x · x
+      ≡⟨ ·Idem x ⟩
+    x ∎
+
+  1Absorbs∨R : x ∨ 𝟙 ≡ 𝟙
+  1Absorbs∨R {x = x} =
+    (x + 𝟙) + (x · 𝟙)
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    𝟙 + (x + x)
+      ≡⟨ cong (λ y → 𝟙 + y) -IsId ⟩
+    𝟙 + 𝟘
+      ≡⟨ +IdR 𝟙 ⟩
+    𝟙 ∎
+
+  1Absorbs∨L : 𝟙 ∨ x ≡ 𝟙
+  1Absorbs∨L {x = x} = ∨Comm ∙ 1Absorbs∨R
+
+  ∧DistR∨ : x ∧ ( y ∨ z) ≡ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
+  ∧DistR∨ {x = x} {y = y} { z = z} =
+    x · ((y + z) + (y · z))
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    x · y + x · z +   x   · (y · z)
+      ≡⟨ cong (λ a → x · y + x · z + a · (y · z)) (sym (·Idem x)) ⟩
+    x · y + x · z + x · x · (y · z)
+      ≡⟨  solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    x · y + x · z + (x · y) · (x · z) ∎
+
+  ∧DistL∨ : (x ∨ y) ∧ z ≡ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)
+  ∧DistL∨ = ∧Comm ∙ ∧DistR∨ ∙ cong₂ _∨_ ∧Comm ∧Comm
+
+  ∨DistR∧ :  x ∨ (y ∧ z) ≡ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
+  ∨DistR∧ {x = x} {y = y} {z = z} =
+    x + (y · z) + x · (y · z)
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    x + 𝟘 + 𝟘 + y · z + 𝟘 + x · y · z
+      ≡⟨ cong (λ a → a + 𝟘 + 𝟘 + y · z + 𝟘 + a · y · z) (sym (·Idem x)) ⟩
+    x · x + 𝟘  + 𝟘  + y · z + 𝟘 + x · x · y · z
+      ≡⟨ cong (λ a → x · x + 𝟘 + 𝟘 + y · z + a + x · x · y · z) (sym (-IsId {x = (x · y) · z})) ⟩
+    x · x + 𝟘 + 𝟘 + y · z + (x · y · z + x · y · z) + x · x · y · z
+      ≡⟨ (cong₂ (λ a b → x · x + a + b + y · z + (x · y · z + x · y · z) + x · x · y · z)) (xa-xxa≡0 z) (xa-xxa≡0 y) ⟩
+    x · x + (x · z + x · x · z) + (x · y + x · x · y) + y · z + (x · y · z + x · y · z) + x · x · y · z
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    (x + y + x · y) · (x + z + x · z) ∎ where
+      xa≡xxa : (a : ⟨ A ⟩) → x · a ≡ (x · x ) · a
+      xa≡xxa a = cong (λ y → y · a) (sym (·Idem x))
+      xa-xxa≡0 : (a : ⟨ A ⟩) → 𝟘 ≡ x · a + x · x · a
+      xa-xxa≡0 a =
+       𝟘
+         ≡⟨ sym -IsId ⟩
+       x · a + x · a
+         ≡⟨ cong (λ y → x · a + y · a) (sym (·Idem x)) ⟩
+       x · a + x · x · a ∎
+
+  ∨Distr∧R :  (x ∧ y) ∨ z ≡ (x ∨ z) ∧ (y ∨ z)
+  ∨Distr∧R = ∨Comm ∙ ∨DistR∧ ∙ cong₂ _∧_ ∨Comm ∨Comm
+
+  ∧AbsorbL∨ : x ∧ (x ∨ y) ≡ x
+  ∧AbsorbL∨ {x = x} {y = y} =
+    x · ((x + y) + (x · y))
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    x · x + (x · y + x · x · y)
+      ≡⟨ cong (λ z → z + ((x · y) + (z · y))) (·Idem x) ⟩
+    x + (x · y + x · y)
+      ≡⟨ cong (_+_ x) -IsId ⟩
+    x + 𝟘
+      ≡⟨ +IdR x ⟩
+    x ∎
+
+  ∨AbsorbL∧ :  x ∨ (x ∧ y) ≡ x
+  ∨AbsorbL∧ {x = x} { y = y}  =
+    x + x · y + x · (x · y)
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A)  ⟩
+    x + (x · y + x · x · y)
+      ≡⟨ cong (λ z → x + (x · y + z · y)) (·Idem x) ⟩
+    x + (x · y + x · y)
+      ≡⟨ cong (_+_ x) -IsId ⟩
+    x + 𝟘
+      ≡⟨ +IdR x ⟩
+    x ∎
+
+  ¬Cancels∧R : x ∧ ¬ x ≡ 𝟘
+  ¬Cancels∧R {x = x} =
+    x · (𝟙 + x)
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    x + x · x
+      ≡⟨ cong (λ y → x + y) (·Idem x) ⟩
+    x + x
+      ≡⟨ -IsId ⟩
+    𝟘 ∎
+
+  ¬Cancels∧L : ¬ x ∧ x ≡ 𝟘
+  ¬Cancels∧L = ∧Comm ∙ ¬Cancels∧R
+
+  ¬Completes∨R : x ∨ ¬ x ≡ 𝟙
+  ¬Completes∨R {x = x} =
+    x + ¬ x + (x ∧ ¬ x)
+      ≡⟨ cong (λ z → x + ¬ x + z) ¬Cancels∧R ⟩
+    x + ¬ x + 𝟘
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    x ∨ 𝟙
+      ≡⟨ 1Absorbs∨R ⟩
+    𝟙 ∎
+
+  ¬Completes∨L : (¬ x) ∨ x ≡ 𝟙
+  ¬Completes∨L = ∨Comm ∙ ¬Completes∨R
+
+  ¬Invol : ¬ ¬ x ≡ x
+  ¬Invol {x = x} =
+    𝟙 + (𝟙 + x)
+      ≡⟨ +Assoc 𝟙 𝟙 x ⟩
+    (𝟙 + 𝟙) + x
+      ≡⟨ cong (λ y → y + x) ( -IsId {x = 𝟙}) ⟩
+    𝟘 + x
+      ≡⟨ +IdL x ⟩
+    x ∎
+
+  ¬0≡1 : ¬ 𝟘 ≡ 𝟙
+  ¬0≡1 = +IdR 𝟙
+
+  ¬1≡0 : ¬ 𝟙 ≡ 𝟘
+  ¬1≡0 = -IsId {x = 𝟙}
+
+  DeMorgan¬∨ : ¬ (x ∨ y) ≡ ¬ x ∧ ¬ y
+  DeMorgan¬∨ = solve! (BooleanRing→CommRing A)
+
+  DeMorgan¬∧ : ¬ (x ∧ y) ≡ ¬ x ∨ ¬ y
+  DeMorgan¬∧ {x = x} {y = y} =
+    𝟙 + x · y
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    𝟘 + 𝟘 + 𝟙 + x · y
+      ≡⟨ cong₂ (λ a b → ((a + b) + 𝟙) + (x · y)) (sym (-IsId {x = 𝟙 + x})) (sym (-IsId {x = y})) ⟩
+    ((𝟙 + x)  + (𝟙 + x)) + (y + y)  + 𝟙 + x · y
+      ≡⟨ solve! (BooleanRing→CommRing A) ⟩
+    ¬ x ∨ ¬ y ∎