Tecnologias utilizadas:

R Studio

• RStudio: Ambiente integrado para desenvolvimento em R, oferecendo ferramentas para escrita, execução e depuração de código;

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Objetivo:

Através da Análise de Variância (ANOVA) analisar três métodos de ensino, identificando se há diferenças significativas ou não entre os métodos abordados. Apresentar os resultados de forma manual e posteriormente utilizando funções do R.

Base de dados: Sintética

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Script R:

Enunciado:

Um professor deseja testar três métodos de ensinos diferentes. Para isso, escolhe aleatoriamente três grupos de 5 alunos e cada grupo é ensinado por um método diferente. Determine se há diferença significativa entre os três métodos, com nível de significância de 5%

Métodos
Método 1	75	62	71	58	73
Método 2	81	85	68	92	90
Método 3	73	79	60	75	81

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Resolução Manual

• Número de observações (n) = 15

• Número de tratamentos (c) = 3

1° Hipóteses:

• H0: média_1 = média_2 = média_3

• Ha: Ao menos uma das medidas são diferentes

# Criação da tabela
metodo_1 <- list(75,62,71,58,73)
metodo_2 <- list(81,85,68,92,90)
metodo_3 <- list(73,79,60,75,81)

df <- data.frame(
  'Metodo_1'= unlist(metodo_1),
  'Metodo_2'= unlist(metodo_2),
  'Metodo_3'= unlist(metodo_3)
)
df <- t(df)
df

# Média dos grupos
media_1 <- mean(df['Metodo_1',])
media_2 <- mean(df['Metodo_2',])
media_3 <- mean(df['Metodo_3',])

sprintf('A média do método 1 é: %.2f', media_1)
sprintf('A média do método 2 é: %.2f', media_2)
sprintf('A média do método 3 é: %.2f', media_3)

[1] "A média do método 1 é: 67.80"

[1] "A média do método 2 é: 83.20"

[1] "A média do método 3 é: 73.60"

# Média Global
media_global <- mean(df)
sprintf('A média global é: %.2f', media_global)

[1] "A média global é: 74.87"

# Variância Total
STQ <- 0

for (i in df) {
  STQ <- STQ + (i - media_global)**2
}
sprintf('A variância total é STQ: %.2f', STQ)

[1] "A variância total é STQ: 1457.73"

nj = ncol(df) # Número de notas distintas
media_grupos <- c(media_1, media_2, media_3)

# Variação ENTRE grupo
SQE <- 0

for (i in media_grupos) {
  SQE <- SQE + nj * (i - media_global)**2
}

sprintf('A variância ENTRE os grupos é SQE: %.2f', SQE)

# Média ENTRE grupos
MQE <- SQE/(nrow(df)-1)
sprintf('A média ENTRE os grupos é MQE: %.2f', MQE)

[1] "A variância ENTRE os grupos é SQE: 604.93"

[1] "A média ENTRE os grupos é MQE: 302.47"

# Variação DENTRO do grupo
SQD <- STQ - SQE # Variação total - variação entre grupos
sprintf('A variação DENTRO dos grupos é SQD: %.2f', SQD)

# Média DENTRO do grupo
MQD <- SQD/(length(df) - nrow(df))
sprintf('A média DENTRO dos grupos é MQD: %.2f', MQD)

[1] "A variação DENTRO dos grupos é SQD: 852.80"

[1] "A média DENTRO dos grupos é MQD: 71.07"

# F observado
Fo <- MQE/MQD
sprintf('A Frequência observada é Fo: %.2f', Fo)

[1] "A Frequência observada é Fo: 4.26"

Com todos os valores determinados, podemos prosseguir com a criação da tabela auxiliar.

Para N sendo o número total de notas e k o número de tratamentos, temos:

Graus de liberdade entre os grupos: 3 - 1;

Graus de liberdade dentro dos grupos: 15 - 3 = 12

FV	SQ	GL	MQ	Fo
Entre	SQE = 604,93	2	MQE = 302,46	Fo = 4,26
Dentro	SQD = 852,80	12	MQD = 71,00	-
Total	STQ = 1457,73	14	-	-

Para calcular a Fc (Frequência calculada) utilizaremos a tabela abaixo:

Para Coluna 2 x Linha 12 (conforme os graus de liberdades determinados)

Fc = 3,88.

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Aplicação de TUKEY

Como o método de ANOVA informa se existe ou não diferença entre os tratamentos, mas não informa qual (is) tratamentos estão diferindo dos outros, utilizaremos então o método TUKEY para determinar essa relação entre os tratamentos.

Como Fo > Fc, portanto Rejeitamos a hipótese nula (Ho), ou seja, para o nível de significância de 5% provamos estatísticamente que há diferença significativa entre os métodos de ensino.

q <- 3.77
delta <- q * (sqrt(MQD)/sqrt(nj))
sprintf('Amplitude total estudentizada q: %.2f', delta)

[1] "Amplitude total estudentizada q: 14.21"

# Contraste (em módulo)
met_1_2 <- abs(media_1 - media_2)
met_1_3 <- abs(media_1 - media_3)
met_2_3 <- abs(media_2 - media_3)

sprintf('Método 1 x Método 2: %.2f', met_1_2)
sprintf('Método 1 x Método 3: %.2f', met_1_3)
sprintf('Método 2 x Método 3: %.2f', met_2_3)

[1] "Método 1 x Método 2: 15.40"

[1] "Método 1 x Método 3: 5.80"

[1] "Método 2 x Método 3: 9.60"

Conclusão: Os métodos 1 e 2 são diferentes significadamente, os demais não há efeito, ou seja, não há diferença significativa.

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Resolução com funções R

# Ajuste dos dados
met_1 <- data.frame('Metodos' = rep('Met1',5),'Obs'= df[1,])
met_2 <- data.frame('Metodos' = rep('Met2',5),'Obs'= df[2,])
met_3 <- data.frame('Metodos' = rep('Met3',5),'Obs'= df[3,])

# Unindo por linhas
df_r <- rbind(met_1, met_2, met_3)
df_r

Metodos	Obs
Met1	75
Met1	62
Met1	71
Met1	58
Met1	73
Met2	81
Met2	85
Met2	68
Met2	92
Met2	90
Met3	73
Met3	79
Met3	60
Met3	75
Met3	81

# Aplicação do ANOVA
anova_teste <- aov(Obs ~ Metodos, data = df_r)
summary(anova_teste)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Metodos 2 604.9 302.47 4.256 0.0401 * Residuals 12 852.8 71.07

Signif. codes:
0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

# Aplicação do TUKEY
df_tukey <- TukeyHSD(anova_teste)
df_tukey

Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = Obs ~ Metodos, data = df_r)

$Metodos	diff	lwr	upr	p adj
Met2-Met1	15.4	1.175841	29.624159	0.0338349
Met3-Met1	5.8	-8.424159	20.024159	0.5391163
Met3-Met2	-9.6	-23.824159	4.624159	0.2109028

Onde:

• diff: Indica a diferença média entre os grupos comparados.

• lwr: É o limite inferior do intervalo de confiança para a diferença entre as médias dos grupos.

• upr: É o limite superior do intervalo de confiança para a diferença entre as médias dos grupos.

• p adj: É o valor-p ajustado para múltiplas comparações.

Conclusão:

1. Para a comparação entre Met2 e Met1, a diferença média é de 15.4, com um intervalo de confiança de 1.176 a 29.624. O valor-p ajustado é 0.0338, o que sugere uma diferença significativa entre Met2 e Met1.

2. Para a comparação entre Met3 e Met1, a diferença média é de 5.8, com um intervalo de confiança de -8.424 a 20.024. O valor-p ajustado é 0.5391, indicando que não há diferença significativa entre Met3 e Met1.

3. Para a comparação entre Met3 e Met2, a diferença média é de -9.6, com um intervalo de confiança de -23.824 a 4.624. O valor-p ajustado é 0.2109, novamente indicando que não há diferença significativa entre Met3 e Met2.

Em resumo, com base nos resultados do teste de Tukey, parece haver uma diferença significativa entre Met2 e Met1, mas não entre Met3 e Met1 ou entre Met3 e Met2.