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Matemática Estudos

Matemática Pura E Computacional

Base

Grade Curricular usada como base: IME/USP, Bacharelado em Matemática.

Disciplinas principais são os 4 cálculos, álgebra linear, análise na reta, analise real, geometria analítica, topologia, equações diferenciais ordinárias (EDO), equações diferenciais parciais (EDP) tópicos de análise funcional, geometria diferencial.

  • Cálculo Diferencial e Integra 1 (Uma variável)
  • Cálculo Diferencial e Integral 2 (Várias variáveis)
  • Geometria Analítica
  • Álgebra Linear
  • Cálculo Numérico
  • Analise Real
  • Topologia
  • Equações Diferenciais Ordinárias
  • Equações Diferenciais Parciais
  • Geometria Diferencial
  • Teoria da Medida
  • Tópicos em Análise Funcional
  • Matemática Discreta
  • Algoritmos e Estruturas de Dados
  • Análise e Projeto de Algoritmos
  • Metodos Numéricos em EDOs
  • Metodos Numéricos em EDPs
  • Teoria da Computação e Linguagens
  • Análise Exploratória de Dados
  • Machine Learning
  • Inteligência Artificial
  • Computação Gráfica

Meu Roteiro de Estudos

Ramo 1

  • Geometria Analítica
    • Livros
      • Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial, Boulos (principal)
      • Geometria Analítica, Reis e Silva (complemento)
    • Ementa
        1. Vetores, operações, módulo de um vetor, ângulo de dois vetores. 2. Dependência linear, bases, mudança de bases. Sistema de coordenadas no espaço, transformação de coordenadas. 3. Bases ortogonais, matrizes ortogonais, produto escalar. Orientação do espaço, produto vetorial. 4. Equações vetoriais da reta e do plano no espaço. Paralelismo entre retas e planos. 5. Ortogonalidade entre retas e planos. Distância de dois pontos, de ponto a uma reta e a um plano. Áreas e volumes. 6. Curvas planas, cônicas. Curvas e superfícies no espaço. Noções sobre quádricas.
  • Cálculo 1
    • Livros
      • Cálculo Volume 1, Stewart (principal)
      • Cálculo 1, Guidorizzi (complemento)
      • I. Stewart, CALCULUS, 4th ed, Thomson, 2001. * H.L. Guidorizzi, UM CURSO DE CÁLCULO, vol.I e II, 5a. ed., LTC, 2002. * G.F. Simmons, CÁLCULO COMGEOMETRIA ANALÍTICA, vol. I, Mc.Graw-Hill, 1987. * M. Spivak, CALCULUS, Benjamin, 1967.
    • Ementa
      • Números reais. Funções. Funções exponencial, logarítmica, trigonométricas diretas e inversas. Limites e continuidade. Funções contínuas em intervalores fechados. Derivadas. Regra da cadeia. O teorema do valor médio. Fórmula de Taylor. Aplicações das derivadas. Máximos e mínimos. Gráficos. Integrais indefinidas. Técnicas de integração. Noções sobre equações diferenciais ordinárias de 1 ordem.
  • Programação de Computadores

    • Livros

      • H.M. Deitel, P.J. Deitel,"Como Programar em C", 2a ed., Livros Técnicos e Científicos, 1999. A.B. Downey, "Think Phynton: How to Think Like a Computer Scientist", O'Reilly, 2012. B.W. Kernighan, D.M. Ritchie,"A Linguagem de Programação C", padrão ANSI, Campus, 1990. B. Miller, D. Ranum, J.Elkner, P. Wentworth, A.B. Downey, C. Meyers, D. Mitchell,"How to Think Like a Computer Scientist: Interactive Edition", http://interactivepython.org/ C.H. Morimoto, R. F. Hashomoto, "Introdução a Ciência da Computação em C", Publicação do Departamento de Ciência da Computação, IME-USP, 2012. E. Roberts, "The Art and Science of C", Addison-Wesley, 1995. R. Sedgewick, K. Wayne, "Introduction to Programming in Java", (2nd edition) Addison-Wesley Professional, 2017. R. Sedgewick, K. Wayne, "Computer Science: An Interdisciplinary Approach", Addison–Wesley Professional, 2016. V. Setzer, R. Terada, "Introdução à Computação e à Construção de Algoritmos", McGraw-Hill, 1991. J-P. Tremblay, R.B. Bunt, "Ciência dos Computadores", McGraw-Hill, 1983. Material didático para disciplinas de Introdução à Computação, Projeto MAC Multimídia, http://www.ime.usp.br/~macmulti/.

    • Ementa

      • Breve história da computação. Algoritmos: caracterização, notação, estruturas básicas. Computadores: unidades básicas, instruções, programa armazenado, endereçamento, programas em linguagem de máquina. Conceitos de linguagens algorítmicas: expressões; comandos seqüenciais, seletivos e repetitivos; entrada/saída; variáveis estruturadas; funções.

      Desenvolvimento e documentação de programas.
      Exemplos de processamento não numérico. Extensa prática de programação e depuração de programas.

  • Combinatória
    • Livros
      • Análise Combinatória e Probabilidade, Morgado SBM

Ramo 2

  • Cálculo 2
    • Livros
      • Cálculo Volume 2, James Stewart
      • I. Stewart, CALCULUS, 4th ed, Thomson, 2001. * H.L. Guidorizzi, UM CURSO DE CÁLCULO, vol.I e II, 5a. ed., LTC, 2002. * G.F. Simmons, CÁLCULO COMGEOMETRIA ANALÍTICA, vol. I, Mc.Graw-Hill, 1987. * M. Spivak, CALCULUS, Benjamin, 1967.
    • Ementa
      • Integral definida. Aplicações. Integrais impróprias. Curvas no R2 e no R3. Representação paramétrica. Comprimento de curva. Conjuntos abertos, fechados, conexos por poligonais em R2 e R3. Funções de duas ou mais variáveis; limites, continuidade, diferenciabilidade. Gradiente. Regra da cadeia. Teorema do valor médio. Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor. Máximos e mínimos.
    • Requisitos: Cálculo 1
  • Álgebra Linear
    • Livros
      • Álgebra Linear e Aplicações, Callioli
      • C.A. Callioli, H.H. Domingues, R.C.F. Costa, ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES, Atual, São Paulo, 1977 H.G. Campbell, AN INTRODUCTION TO MATRICES VECTORS AND LINEAR PROGRAMMING, Appleton, 1965 D.C. Murdoch, ÁLGEBRA LINEAR, Livros Técnicos e Científicos, 1972 B. Noble, APPLIED LINEAR ALGEBRA, Prentice-Hall, 1969 M. Barone Jr., ÁLGEBRA LINEAR, 3 ed., IME-USP, São Paulo, 1988.
    • Ementa
        1. Espaços vetoriais: definição, subespaços, dependência linear, bases, dimensão. 2. Cálculo matricial, determinantes, sistemas lineares. 3. Transformações lineares e matrizes, núcleo, imagem, posto. 4. Espaços com produto interno: produto interno, norma, ortogonalidade, processo de Gram-Schmidt, complemento ortogonal, projeção. Autovalores e autovetores.
    • Requisitos: Geometria Analitica
  • Algoritmos e Estruturas de Dados
    • Livros
      • N. Wirth, "Algorithms and Data Structures", Prentice Hall, 1986. R. Sedgewick, "Algorithms in C", 3rd. ed, vol. 1, Addison-Wesley/Longman, 1998. N. Ziviani, "Projeto de Algoritmos com Implementações em Pascal e C", Pioneira, 1993. J. Bentley, "Programming Pearls", Addison-Wesley, 1986. J. Bentley, "More Programming Pearls", Addison-Wesley, 1988. A.V. Aho, J.D. Ullman, "Foundations of Computer Science", Computer Science Press, 1992.
    • Ementa
      • Alguns exemplos de algoritmos usando pilhas e filas. Introdução aos conceitos de listas ligadas e ponteiros. Algoritmos recursivos. Busca, inserção e remoção em vetores e listas ligadas. Busca binária.Algoritmos de ordenação (inserção, seleção, mergesort, heapsort, quicksort, etc.). Algoritmos de casamento de padrões. Alguns exemplos de algoritmos de enumeração e otimização sobre seqüências. Prova informal da correção de algoritmos. Estudo empírico da eficiência de algoritmos.
    • Requisitos: Programação de Computadores
  • Probabilidade
    • Livros
      • Análise Combinatória e Probabilidade, Morgado, SBM
    • Requisitos: Combinatória

Ramo 3

  • Cálculo Numérico 1
    • Livros
      • Cálculo Numérico, Neide
      • C.F. Gerald & P.O. Wheatley, Applied Numerical Analysis Reading, Addison-Wesley, 1983. A. Ralston & P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, McGraw-Hill, 1978. A.F.P. de C. Humes, I.S.H. de Melo, L.K. Yoshida, W.T. Martins, Noções Básicas de Cálculo Numérico, McGraw-Hill do Brasil, 1984.
    • Ementa
      • Aproximação e Interpolação: MMQ, Lagrange, Hermite, Splines. Integração Numérica: Newton-Cotes, Gaussiana. Métodos iterativos: soluções de equações e sistemas de equações algébricas e transcedentes: Newton, raízes de polinômios, gradientes conjugados.
  • Estatística
    • Livros
      • Estatística Básica, Bussab
      • W. O. Bussab, P. A. Morettin, Estatística Básica, 8a ed., São Paulo: Editora Saraiva, 2013. M. N. Magalhães, A. C. Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 7a ed., 3ª reimpressão revista, São Paulo: Edusp, 2015. G. E. Noether, Introdução à Estatística: uma Abordagem Não-paramétrica, 2a ed., Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983.
    • Ementa
        1. Estatística Descritiva.2. Probabilidade.3. Variáveis Aleatórias Discretas. Principais modelos: Uniforme, Bernoulli, Binomial, Geométrica, Poisson e Hipergeométrica.4. Variáveis Aleatórias Discretas Multidimensionais (Bidimensionais).5. Variáveis Aleatórias Contínuas.
  • Analise Real I
    • Livros
      • Analise Real 1, Elon
      • Analise I, Djairo G. Figueiredo
      • Análise Real o livro do Bartle e tira o Djairo
    • Ementa
        1. Números reais: introdução axiomática. Sequências numéricas. Limites superior e inferior. Sequências de Cauchy. Sequências limitadas e monótonas limitadas. Intervalos encaixantes. 2. Continuidade: teoremas do anulamento, do máximo e do mínimo, preservação da conexidade. Continuidade por sequências. Continuidade uniforme. 3. Derivabilidade: diferencial e teorema do valor médio. 4. Integral de Riemann: definição e exemplos especiais. Integrabilidade de funções contínuas e teorema fundamental do Cálculo. Critérios de integrabilidade. 5. Séries numéricas: critérios de convergência. 6. Sequências e séries de funções convergência pontual e uniforme, teste-M de Weierstrass. Continuidade, integrabilidade e derivabilidade com convergência uniforme. 7. Séries de potências e propriedades.
    • Requisitos: Cálculo 2

Ramo 4

  • Análise Real II
    • Livros
      • Análise Real 2, Elon
    • Ementa
      • Analise em Funções em várias variaveis.
    • Requisitos: Análise Real I
  • Equações Diferenciais Ordinárias
    • Livros
      • Equações Diferenciais Aplicadas, Djairo G. Figueiredo IMPA/SBM (principal)
      • Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno, Boyce
      • Equações Diferenciais Com Aplicações em Modelagem, Zill (complementar)
      • Equações Diferenciais: Volume 1, Zill (extra/complemento)
    • Ementa
      • Existência (local) de solução do problema de condição inicial para y'=f(x,y). Unicidade. Métodos elementares de resolução de equações diferenciais. Existência e unicidade para sistemas; exemplo do movimento dos planetas; aplicações de equações de ordem n. Sistemas lineares homogêneos, existência não local de soluções; casos não homogêneos; aplicações a equações de ordem n. Sistemas autônomos; espaços de fase, teoria qualitativa. Tópico Livre.
    • Requisitos: Álgebra Linear, Análise Real

Ramo 5

  • Espaços Métricos
    • Livros
      • Espaços Métricos, Elon (principal)
    • Requisitos: Álgebra Linear, Análise Real
  • Cálculo 3
    • Livros
      • T. M. Apostol, CÁLCULO, Ed. Reverté R. Courant, CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, Vol. II, Globo, Rio de Janeiro, 1951-56 M. Forger, Notas de aula H. L. Guidorizzi, UM CURSO DE CÁLCULO, vol. III, Livros Técnicos e Científicos, 1987 W. Filks, ADVANCED CALCULUS, J. Wiley, 1963 S. Lang, CALCULUS OF SEVERAL VARIABLES, 3 edição, Springer Undergraduate Texts, 1987.
    • Ementa
        1. Integração dupla e tripla. Teorema de Fubini (enunciado). Mudança de variáveis: polares, cilíndricas e esféricas. 2. Curvas e superfícies parametrizadas ( R2 e R3). 3. Campos de vetores. gradiente, divergente e rotacional. 4. Integrais de linha, de superfícies e de volume; mudança de variáveis e independência do caminho. 5. Teoremas de Green, Gauss e Stokes ( R2 e R3). Campos conservativos. 6. Aplicações: Equações de balanço e leis de conservação (Navier-Stokes, Maxwell, etc.).
    • Requisitos: Cálculo 2
  • Medida e Integração
    • Livros
      • Livro principal
        1. C.S. Hönig, A Integral de Lebesgue e suas Aplicações, 11 Colóquio Brasileiro de Matemática, 1977.
      1. H.L. Royden, Real Analysis, 3 ed. Prentice Hall, 1988.
      2. R.G. Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Classics Library Edition pubished 1995 (John Wiley & Sons, Inc, 1966).
      3. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw Hill, Inc, 1986.
      4. G. Folland, Real Analysis. Modern techniques and their applications, 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York, 1999.
    • Ementa
        1. Medida de Lebesgue em R^n.
      1. Espaços de medida; funções mensuráveis e integração; Lema de Fatou; Teorema da convergência monótona; Teorema de convergência dominada.
      2. A relação da integral de Lebesgue na reta com a integral de Riemann e com a integral imprópria de Riemann.
      3. Aplicação do teorema de convergência dominada: derivação sob o sinal de integral.
      4. Medidas produto e Teoremas de Fubini e Tonelli.
      5. Espaços L^p; desigualdades de Hölder e Minkowski; completude dos espaços L^p.
      6. Modos de convergência (relações entre convergência em L^p, em medida, quase sempre e quase uniforme). Teoremas de Lusin e Egorov.
      7. Tópicos adicionais (ao menos um desses tópicos deve ser abordado): a) Transformada de Fourier; produto de convolução; aplicações a EDP. b) Teorema de Vitali; funções de variação limitada; funções absolutamente contínuas e teorema fundamental do cálculo. c) Teorema de mudança de variável para integrais de Lebesgue em R^n. d) Tópico opcional livre a critério do docente.
    • Requisitos: Cálculo 3, Analise Real

Ramo 6

  • Equações Diferenciais Parciais

    • Livros
      • Equações Diferenciais: Volume 2, Zill (extra/complemento)
      • BIBLIOGRAFIA BÁSICA: F. John, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, Springer Verlag, N Y, 1995; ª Gilioli, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ELÍPTICAS, Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1975. V. Iório, EDP - UM CURSO DE GRADUAÇÃO, Sociedade Brasileira de Matemática,
      1. G.B. Folland, INTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 2nd edition, Princeton University Press, 1995.
    • Ementa
        1. Introdução: generalidades sobre equações diferenciais parciais lineares, dedução de algumas equações. 2. O problema da corda vibrante (infinita, semi-infinita e finita). 3. O problema de Dirichlet para a equação de Laplace. Princípio do máximo. Fórmula de Poisson para a bola do Rn; propriedades das funções harmônicas. 4. Equação do calor para a barra finita. 5. Transformada de Fourier; aplicação à equação do calor e de Laplace num semiplano. 6. O problema de Cauchy para a equação das ondas no R3. Método de abaixamento de Hadamard. 7. Classificação das equações diferenciais parciais de 2a. ordem quase lineares. 8. Problema de Cauchy para equações de 1a. ordem (ou, alternativamente, o teorema de Cauchy-Kowalewsky).
    • Requisitos: Cálculo 3, EDOs, Medida e Integração

  • Topologia

    • Livros
      • Elementos de Topologia Geral, Elon (principal)
      • Topologia Geral, Munkes (complemento)
      • General Topology, Stephen Willard (extra/complemento)
    • Ementa
        1. Espaços métricos: definição, exemplos e conceitos básicos; convergência, completividade e o teorema de Baire; funções contínuas, homeomorfismos, espaços de funções contínuas; espaços normados -- exemplos. 2. Espaços topológicos: definição, exemplos e conceitos básicos; base de abertos e sub-base de abertos; axiomas de enumerabilidade; funções contínuas e homeomorfismos; axiomas de separação; lema de Urysohn e teorema de Tietze [enunciado]; espaços conexos e localmente conexos; espaços compactos e localmente compactos; teorema de Baire; compactificação e o teorema de Tichonoff [enunciado]; espaços de funções; topologia de convergência simples e uniforme sobre compactos; teoremas de Arzela-Ascoli e Stone-Weirstrass; tópico livre [se houver tempo].
    • Requisitos: Álgebra Linear, Espaço Metricos , Análise Real.

  • Cálculo Avançado

    • Livros
      • Advanced Calculus, Kaplan
      • R. Buck, E.F. Buck, ADVANCED CALCULUS, 2nd. ed., McGraw-Hill, 1965 W. Rudin, PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS, 3rd.ed., McGraw-Hill, 1976
      • R. G. Bartle, THE ELEMENTS OF REAL ANALYSIS, 2nd ed., John Wiley, 1976 R. Buck, E. F. Buck, ADVANCED CALCULUS, 2nd ed., Mc Graw-Hill, 1965 E. L. Lima, CURSOS DE ANÁLISE, vol. 2 W. Rubin, PRINCÍPIOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA, Mc Graw-Hill.
    • Ementa
        1. Topologia de Rn e espaços métricos (abertos, fechados, vizinhanças, pontos de acumulação, compactos, conexos). Caracterização de compacto de Rn como fechado e limitado. 2. Seqüências em espaços métricos. Convergência. Subseqüências. Caracterização da topologia (aberto, fechado, ponto de acumulação) por seqüências. relação entre compacto e seqüencialmente compacto. Seqüência de Cauchy. Completude. Destaque para o Rn. 3. Continuidade de aplicações de Rn em Rm e entre espaços métricos. Caracterização de continuidade por seqüências. Continuidade de função composta. Preservação de compactos e de conexos. 4. Transformações de Rn em Rm; Diferenciabilidade, teoremas de existência da diferencial, regra da cadeia e desigualdade do valor médio. A classe C1. 5. Teorema da função inversa e teorema da função implícita. Aplicações. 6. Derivadas de ordem superior. Polinômio de Taylor. Máximos e mínimos. 7. Máximos e mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.
      • Estudo da integral de Riemann em Rn, integração de formas diferenciais, Teorema de Stokes. 1. Integral de Riemann em Rn. Integrabilidade de funções contínuas. Critérios de integrabilidade.Demonstração do teorema de mudança de variáveis e de Fubini. 2. Formas diferenciais em Rn. Campos vetoriais. Relação entre formas e operadores vetoriais. 3. Teorema de Stokes (em linguagem de formas diferenciais). Aplicações à análise vetorial clássica. 4. Formas exatas e formas fechadas.
    • Requisitos: Cálculo 3, Analise Real, EDOs e EDPs

Ramo 7

  • Geometria Diferencial
    • Livros
      • M.P. Carmo, Differential Geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976.
      • M.P. Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides IMPA, 1988.
      • Gray Modern Differential Geometry of curves and surfaces CRC, Press Inc, 2000.
      • W. Kuhnel, Differential Geometry: Curves-Surfaces-Manifolds. American Mathematical Society, Second Edition, 2005.
      • O'Neil, Elementary Differential Geometry. Academic Pres 1966.
    • Ementa
      • (1) Rápido estudo sobre curvas em R3: Equações de Frenet, curvatura, torsão e Teorema fundamental das curvas. (2) Estudo local das superfícies no R3: Formas fundamentais, curvaturas e direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média. (3) Conexão Riemanniana: Definição de conexão Riemanniana em superfícies mergulhadas e das 1-formas de conexão, transporte paralelo. (4) Geodésicas: Definição de geodésica, aplicação exponencial e Lema de Gauss. (5) Curvatura: Definição do tensor curvatura e enunciado de algumas propriedades, equação de Gauss e o teorema Egregium, equações Estruturais, teorema fundamental das imersões isométricas (para superfícies). (6) Teorema de Gauss-Bonnet: enunciado, emonstração e aplicações.
    • Requisitos
      • Cálculo Avançado (Cálculo Integral)
  • Análise Funcional
    • Livros
        1. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. In., 1989. 2) W. Rudin, Real and Complex Analysis. 3rd Edition, 1986. 3) C.S. Hönig, Análise Funcional e Aplicações, Vols. 1 e 2, 2a ed, IME-USP, 1990. 4) A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementos de la Teoria de Funciones y del Análisis Funcional, Mir, Moscou, 1972.
    • Ementa
        1. Espaços de Hilbert: aspectos geométricos, Teorema de Representação de Riesz, Teorema da Base. 2) Séries de Fourier: convergência L^2, identidade de Parseval e convergência pontual. 3) Espaços de Banach: operadores lineares contínuos. 4) Espaços de sequências e seus duais. 5) Teoremas fundamentais dos espaços de Banach: Teorema de Hahn-Banach, princípios da limitação uniforme e o Teorema de Banach-Steinhaus; teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado. Aplicações. 6) Tópicos opcionais (ao menos um desses tópicos deve ser aborado): a) O dual de C[1,b]. b) Teorema espectral para operadores compactos. c) Espaços de Frechet.
    • Requisitos: Álgebra Linear, Cálculo Avançado, Topologia

Ramo 8

  • Matemática Discreta
  • Projeto e Análise de Algoritmos
  • Métodos Numéricos em EDOs
  • Métodos Numéricos em EDPs
  • Teoria da Computação e Linguagens
  • Análise Exploratória de Dados
  • Machine Learning
  • Computação Gráfica

Livros

Principais

Estatística Básica, Bussab/Moretin (v)

Analise Real 1 e 2 - Elon Lages (v) Espaços Métricos, Elon Lages (v) Elementos de Topologia Geral, Elon Lages (v)

Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Zill, Dennis (v)

Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, Boyce (v)

Complementares

Walter Rudin Principles of Real Analysis Espaços Métricos, Kelley * Espaços Métricos, Pervin * Basic Topology do Armstrong (introdutório) Topologia Geral Munkres (introdutórios) Livro Schaums Outline de Topologia (introdutório) Topologia Geral, Lucia Junqueira (apostila *)

Topologia, Dugundji (avançado) Topologia, Engelking (avançado)

Advanced Calculus, Wilfred Kaplan

Analise, Geraldo Ávila

Analise, Djairo

Equações Diferenciais dos Professores Djairo Guedes e Aloísio Freiria

Links

Github Jornada Matemática