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  {第 \thechapter 章}
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\title{异星杂谭}
\author{苑明理}
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\begin{document}

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\chapter*{序言}

幼时夏夜，在屋顶乘凉，仰望壮丽的星空，时而会有一些遐想：在某个闪亮的星星附近，是否也有另一个“我”，同样在仰望星空，同样在发问？
后来读到 Ted Chiang 的《你一生的故事》，深为外星异质文化带来的观念冲击而着迷。为什么呢？因为人们可以通过不同来重新审视自己。

我们常常藏身于观念的硬壳里，很多观念创建已久，已经成为我们每个人思考的一部分；当我们说到它，仅仅一个熟知的词汇脱口而出，压根没想它真正的意义。
当重新尝试用观念创造者的角度来思考时，我们才恍然发现一个个想法的背后，对它们的思考并不是那么简单。不同会促使我们反省僵化的思维。

古时，庄子作出了一篇篇寓言，扬雄写了《太玄》与《法言》，这些著作或许有作者的深意；今人即使不认同这些背后的想法，但也不得不惊叹古人各种不同的瑰奇想象。
想象可以通过小说来表达，却重在情节而失之知识的严谨；知识可以通过严谨的论文来表述，可缺少了情趣与浪漫。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=5in]{images/0_01-Lake_Ninan.jpg}
\caption{横亘天际的银河}
\end{figure}

在这本小册子里，我将带领大家开启一段独特的浪漫之旅，尝试通过适当的假设、数学物理的原理、计算机的模拟，去勾画一个想象中的、包罗万象的行星世界。
这个行星世界和地球的设定略有不同，而有趣的也在这些不同之处。我们会探索如下的方面

\begin{itemize}
\item 运动的星体：基于星体运动规律展开的讨论，如宜居性、天文事件、相应的几何关系、昼夜晨昏、四方位、可能的历法等；
\item 再造行星世界：基于对行星表面物理机制的建模而展开的讨论，星球的形态、潮汐的强度、大气的分层与环流等；
\item 重建生物圈：基于我们对地球生命的认知，去想象可能的演化过程、形态特征、生态组合，以及背后可能的潜在规律；
\item 神秘的智能：地球上生物智能如何体现？定义智能的尝试；和计算、学习的关系；自我与智能；智能之间能理解吗？
\item 另辟蹊径的文化：用人类历史上在数制、逻辑、语言方面已经展现出来的多样性来打破我们僵化的惯性思维。
\item 文明的其他可能：生物世界里群体如何相处？人机共存的赛博世界的可能未来？
\item 终极的命题：宇宙是一个计算机吗？宇宙的演化有没有方向？有没有终极的意义？
\end{itemize}

我们将会准守如下的体例。在每个章节，我们会尝试尽量用这样的顺序：先确定出一些基本的问题，比如一个行星上的山最多有多高；
然后把解决它们的文献资料里的原理给出，有些会进一步给出计算机的模拟；如果有可能，也会给一些科学史上的探讨；
在这中间，会适当展开小的讨论，或许会有一些吉光片羽的感悟零散其间。
在章节的中间，每次重要概念的第一次出现，我们会给出到维基百科的链接，方便读者的扩展阅读。
在章节的结尾，我们会罗列出本章的参考文献，让感兴趣的读者进一步去探索；有计算机模拟的，我们会给出相应的模拟程序的链接。

这本介于虚构和非虚构之间的小册子，将会致敬刘慈欣的一篇不那么出名的小说《山》，一个新的望洋兴叹的寓言故事。
在这篇不长的小说里，我们的大刘描述了一个生活在行星地核里的文明，他们乘着“泡船”在大地里航行，开始了他们的探索；
经过了纷乱、战争和磨难，经历了十万年，他们终于凿空了整个厚厚的大地，越过了海洋，看到了星光闪烁下的夜空；
于是，他们知道了，还有一个更大的宇宙在等待他们。这个“凿空厚壁，得见星空”的艰难，并不单单指小说设定里的那个厚厚的地层，
也指人们每次认识突破中的困苦，或者说，突破旧有自我的种种艰辛。

这本小册子的写作注定是非常难和长期的，对写作者是一个不小的挑战。为此，多年来我也准备了很多的资料。
有些问题，我的资料已经备足了，有些还会在写作中继续搜集。其中的有些题目下的内容，来自于多年工作里攻坚过程中学到的，
这些内容我有把握会发挥的比较好，只是如何穿针引线组织起来，还要费一番心思。
也有些题目看似简单，却是源自我长期以来的一些困惑和思考，我会争取把里面的精彩写出来，因为很多都早已被大家遗忘了。

我常常觉得，很多时候困惑反倒让我踏实，因为困惑的我不是翘尾巴的我；而且笨拙的我，往往是经过一串长长的探索，才发现了一个简单的道理；
不过，接下来的就是真正的奖励，解决一个小问题带来的喜悦。

回顾自己的成长，有趣的普及读物总是能给我们开启大门，让我们走的越来越远。为什么呢？
因为我们会感受到写作者内心里一种单纯的小小执念—热爱或者好奇。
这小小的单纯执念，对一个人来说，它们没有被岁月磨灭，反而会带来快乐；对我们人类来说，则如永不枯竭的涓涓细流，也似薪火一般永传。

横亘在窗外的万古银河，早被喧嚣城市的灯光掩盖，我们常常会扪心自问此身何往？
或许唯有简单与纯粹，才能让我们看到本末源流，经历一番探索追寻，才能在苦难中到达彼岸。

这本书的写作还要感谢家人、朋友们的支持，他们的爱和友谊让我觉得不再孤单。
尤其是集智这个小团体的朋友们，他们对未知的好奇心，他们的热忱，时时在感染激励我。

最后，我还想说，这本小书想达成什么呢？仅仅是想为成长中的青少年，开启一扇可以望见星空的窗，
去感受外面广袤的宇宙和无限的可能。这是笔者在写这本书时想到的，以此为序。

\hfill \hfill 2020 年 7 月季夏

\hfill \hfill 明理于北京

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\tableofcontents
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\chapter{人类对宇宙的认识之路}

人类是地球上唯一骄傲地懂天文学的物种吗？让我们从这样一个好笑的设问开始这本书。

我们经常可以在媒体上看到，满月时海龟会回游到出生地产卵，然而查阅文献，我们就能发现满月和海龟的回游与导航机制之间并不存在因果关系。
相对高等的海龟不会看月亮，但是相反，倒是有一种滚粪球的夜行屎壳郎（蜣螂）会识别夜空里的银河和亮星，通过它们来给自己导航。

在本章，我们会简单回望人类对宇宙之真的求索之路，同时聚焦这历程中的几个小环节，看一下古人发展出来的技术。
从这些技术问题的探讨，会引出一些话题，在更后面的章节我们还会反复讨论。

\section{回望求索之路}

\subsection{远古的探寻}

自古以来，天空中的日、月、星辰引发了人们无尽的想象和探究。1999 年人们在德国发现了内布拉星象盘（Nebra sky disk），它是公元前 16 世纪青铜时代的器物。
在这个铜盘之上同时出现有太阳、月亮和星辰。根据一种解释，该盘上太阳和月亮之间的那团七星，是著名的金牛座“七姐妹”—昴宿星团。
内布拉星象盘艺术式地表现了人们对宇宙的思考与追寻。\cite{pasztor2007interpretation}

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=2.5in]{images/1_01-Nebra_sky_disk.jpg}
\caption{内布拉星象盘}
\end{figure}

然而，人类对宇宙的追寻并不只停留在艺术表现，更在于能够精确预测天文现象。根据一种假说，建于公元前两、三千多年前的英国巨石阵（Stonehenge）
可以用来定位日月的位置并预测日食的发生。预测方法是使用巨石阵内 56 个奥布里洞（Aubrey holes）来实现的，它的原理是基于用公分子 56 来近似表达三个天文周期。

这三个天文周期分别是太阳的运动周期（地球的周年运动）、月球的运行周期和沙罗周期，它们的周期和近似的分数表示如下表所示。于是我们可以把沙盘的圆周等分
成 56 份，然后在上面简单地计数，来模拟日、地、月的运行。并且这些模拟可以不断通过观测来校正，这样使得整个预报系统能够长期相对精确地运行。\cite{beggs2012unifying}

\begin{table}[tbhp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
天文现象 & 周期 & 近似周期 & 沙盘移动方法 \\
\hline
太阳的运行周期 & 365.26 天 & $ 56 \times \frac{13}{2} $ & 每 13 天移动 2 步 \\
\hline
月球的运行周期 & 27.32 天 & $ 56 \times \frac{1}{2} $  & 每天移动 2 步 \\
\hline
沙罗周期 & 18.61 年 & $ 56 \times \frac{1}{3} $  & 每年移动 3 步 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{基于 56 的日食预测原理}
\end{table}

下图是设想中的巨石阵预测方法：在 56 个奥布里洞上插入 4 把旗帜，有两把分别代表日、月，另外两把代表沙罗周期，人们可以据此模拟日月运行和食变。
代表太阳的旗帜，每 13 天逆时针移动 2 个洞；代表月亮的旗帜，每天逆时针移动 2 个洞；代表沙罗周期的两把旗帜，相互在对方的对径点上，每年顺时针移动 3 个洞。
当这些旗帜彼此接近的时候，就有可能发生食变。

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[rotate=10]
    \draw (0,0) ellipse (6 and 3);
    \foreach \a in {1,...,56}
    {
        \node (n\a) at ({
            \a * 6.428571428571429
        }:{
            3.0 / sqrt(1 - 0.75 * cos(\a * 6.428571428571429) * cos(\a * 6.428571428571429)))
        }){};
    }
    \foreach \a in {1,...,56}
    {
        \fill (n\a) circle [radius=2pt];
    }
    \foreach \a in {1,...,56}
    {
        \node (o\a) at ({
            \a * 6.428571428571429
        }:{
            4.0 / sqrt(1 - 0.75 * cos(\a * 6.428571428571429) * cos(\a * 6.428571428571429)))
        }){};
    }
    \node[circle, draw] (sun) at ($(n21) + (80:1)$) {\Sun};
    \node[circle, draw] (moon) at ($(n38) + (80:1)$) {\Moon};
    \node[circle, draw] (saros1) at ($(n31) + (80:1)$) {$\sigma$};
    \node[circle, draw] (saros2) at ($(n3) + (80:1)$) {$\sigma$};
    % phases
    \draw[dotted](n56)--(n28);
    \draw[dotted](n14)--(n42);
    \node[dotted, circle, draw] (W) at ($(n56)!0.5!(o56)$) {西};
    \node[dotted, circle, draw] (S) at ($(n14)!0.5!(o14)$) {南};
    \node[dotted, circle, draw] (E) at ($(n28)!0.5!(o28)$) {东};
    \node[dotted, circle, draw] (N) at ($(n42)!0.5!(o42)$) {北};
    % sun
    \draw[solid](sun)--(n21);
    \draw[dotted](n21)--(0,0);
    % moon
    \draw[solid](moon)--(n38);
    \draw[dotted](n38)--(0,0);
    % saros
    \draw[solid](saros1)--(n31);
    \draw[solid](saros2)--(n3);
    \draw[dotted](n3)--(n31);
    % arrows
    \draw[thick, ->] (o20) -- (o24) node[midway, above left] {每13日逆移2格};
    \draw[thick, ->] (o34) -- (o41) node[midway, below] {每日逆移2格};
    \draw[thick, ->] (o4) -- (o1) node[midway, above right] {每年顺移3格};
    \draw[thick, ->] (o33) -- (o30) node[midway, below left] {每年顺移3格};

\end{tikzpicture}
\caption{设想中的巨石阵预测方法}
\end{figure}

在上述假设下，巨石阵可以理解为一种称为计数器机\cite{beggs2012unifying}的计算设施。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=5.0in]{images/1_02-Stonehenge.jpg}
\caption{巨石阵（图片来自于维基共享资源计划）}
\end{figure}

\subsection{古典时代}

在人类科学与技术史上，古希腊人制造的安提基特拉器械（Antikythera mechanism）无疑是古代的一个巅峰之作。它是古希腊人为了定位日、月和各大行星
而设计制造的一个青铜器械。该器械约在公元前 150 到 100 年之间被制造出来，迄今已有二千余年的历史。它所体现出来的复杂设计与制造技能，
失传于历史长河之中，直到后世欧洲于 14 世纪制造出了天文钟后，人类才重新获得了这样的能力。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=2.5in]{images/1_03-Antikythera.jpg}
\caption{安提基特拉器械（图片来自于维基共享资源计划）}
\end{figure}

1900 年 10 月，安提基特拉器械在希腊安提基特拉岛海岸外的沉船中被发现，它随同大量的考古遗物和艺术品一起被打捞上来。1902 年考古学家在整理考古遗物时发现了它的特殊之处。
考古学家一开始认为这个器械是一种天文钟，但当时多数学者认为它太过复杂，远超同时期发现的其他物品，因此认为这里存在某种时代错乱，是后世的物品混进了这批考古遗物中。
直到 1951 年，英国物理学家德瑞克·约翰·德索拉·普莱斯（Derek J. de Solla Price）对该器械进行了系统性的研究，提出该器械通过齿轮组实现行星和恒星运动的模拟。
其后科学家进行了多次系统的调查，进一步确认了普莱斯的观点。

安提基特拉器械详细的 X 射线成像表明，它共有 37 个齿轮，能够模拟月球和太阳的运动、预测日食，甚至可以模拟月球的不规则运动。
在公元前 2 世纪，曾在罗得岛居住过的的天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，约公元前190年–公元前120年）研究了这种月球的不规则运动，
因此人们推测他可能参与了机器的制造。人们也怀疑，这台器械的原产地也在当时的天文学和机械制造的中心罗得岛。

人们认为希帕恰斯是古代最伟大的天文学家之一。在洛杉矶的格里菲斯天文台前，有一座天文学家纪念碑，
碑上有六位有史以来最伟大的天文学家的浮雕，希帕恰斯是唯一来自古代的人选。他发明或改进了一系列天文仪器；
建立了日月运行的精确理论，从而能更好的计算日月食； 在古巴比伦人工作的基础上编制了星表，并且发现了岁差；
同时希帕恰斯也是重要的数学家，他是三角学的奠基人。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=5.0in]{images/1_03-Observatory_in_Alexandria_at_the_Time_of_Hipparchus.jpg}
\caption{描绘希帕恰斯在亚历山大观星的插图}
\end{figure}

\subsection{文艺复兴}

尽管希腊人已经发展了多种不同的宇宙理论，但在古代很长时间里大多数人认为“地球是宇宙所有运动的中心”。这个命题赋予了地球无比特殊的地位。
然而即便是在中世纪也有人对此产生异议。尼克尔·奥里斯姆（Nicole Oresme，132?年–1382年）是欧洲中世纪晚期的哲学家，他在神学著作中表达了上帝之下的众多不同世界的可能。

其后的历史，欧洲进入了文艺复兴。1543 年，天文学家尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473年－1543 年）在去世之前，
发表了著名的《天体运行论》，提出日心说。这一年被认为是现代天文学的起点。 在《天体运行论》发表之后的几十年里，
哥白尼的观点在欧洲不断传播。

1609 年伽利略制作了他的第一台天文望远镜，1610年 3 月他把最初利用望远镜观测天体的结果发表在题为《星际信使》的书中。
1610 年 1 月 7 日，伽利略通过他的天文望远镜观察到了木星周围的三个小的天体，随后几天，他又观察到这几个小的天体相对于木星的运动，甚至遮掩；
由此，他发现了木星的三个较大的卫星。这些发现揭开了天文学的革命。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[height=2.0in]{images/1_05-Nikolaus_Kopernikus.jpg}
\includegraphics[height=2.0in]{images/1_05-Galilieo_Galilei.jpg}
\includegraphics[height=2.0in]{images/1_08-Tycho_Brahe.jpg}
\caption{哥白尼、伽利略、第谷}
\end{figure}

在这些早期的日心说支持者中，最有贡献的是丹麦天文学家第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546年－1601年）。
第谷在天文学上的贡献，除了他的第谷体系之外，他还于 1576 年在汶岛（Hven Island）建立了天文台，从事大规模的天文观测。
第谷的观测材料为他的学生约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571年－1630年）的工作开辟了道路。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=5.0in]{images/1_09-Uraniborgskiss.jpg}
\caption{第谷建立的天文台（图片来自于维基共享资源计划）}
\end{figure}

\subsection{近现代的探索}

从开普勒对行星运动的研究开始，人类对宇宙的探索进入到了下一个阶段，其后的路径大致可以分对自然的深度和丰富性的两条认识之路。

对自然的深度认识之路，始于开普勒在 1602 年至 1618 年间建立的行星运动三定律，它们用精密的数学描述了行星的运动。
艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643年－1727年）更进一步，于 1687 年在《自然哲学的数学原理》中正式发表了万有引力的平方反比律；
在此基础上，几代天文学家，如拉格朗日、拉普拉斯、高斯、庞加莱，陆续建立了庞大的天体力学体系，帮助人们更好地理解和探索宇宙。
在二十世纪初，相对论、量子理论分别突破物理学的困境，开启了人与自然的全新时代。

对自然的丰富认识之路，可以从弗里德里希·威廉·赫歇尔（William Herschel，1738年－1822年）的工作说起，他于 1781 年发现了天王星，
是从古代以来，人类首次发现新的行星。赫歇尔还通过观测和统计，对银河系形状建立了初步的认识。
1838 年，弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Bessel，1784年－1846年）第一次利用视差确定了太阳系到恒星天鹅座 61 的距离。
通过 1920 年前后的“沙普利-柯蒂斯之争”，人类确立了仙女座大星系的河外星系地位。
埃德温·鲍威尔·哈勃（Edwin Powell Hubble，1889年－1953年）更利用造父变星确认了河外星系的普遍存在。
他还发现了河外星系的红移与距离的关系，也就是著名的哈勃定律，人类更清晰的认识了宇宙膨胀的宏观运动。
1964 年美国射电天文学家阿诺·彭齐亚斯（Arno Penzias，1933年－）和罗伯特·威尔逊（Robert Wilson，1936年－）偶然发现宇宙微波背景，
为宇宙大爆炸理论提供了观测证据。

尽管人类对宇宙的理解取得了很多进展，但仍然有许多问题没有解决，暗物质与暗能量的问题是其中之一。

人类对自然认识水平的提升，反过来也会改变人类对自己的认识。随着光学观测水平的提升，观测方法的创新与改进，
开普勒卫星已经观测到几千颗地外行星，而这仅仅来自很小的一块天区。
这些发现使人们相信行星的普遍存在，也蕴含着生命在宇宙里普遍存在。
二十世纪末叶，有科学家认为，宇宙的存在是多重的，不止一个，每个宇宙都有自己的演化参数和历史。
根据人择原理，人类所处的这个宇宙的参数，必须能说明人类自己的存在。


\section{巨石阵背后的数学}

万事万物都发生在一定的时空当中，人类时间观念的建立，会天然倾向于和身边稳定时间周期的事件联系起来；
日升月落，斗转星移，在人类历史早期，最容易找到的稳定时间周期的事件就是天文事件。不同类型的天文事件有不同的时间周期，
于是历法里的很多问题，都遵循如下的模式：首先假设天文事件时间周期的恒定性；再在对它们时间测量的基础上，进行恰当的逼近；然后，校验测量误差，检验假设，再在此基础上，修正先前的假设。
设想中的巨石阵预测方法就体现了这样的想法，本节我们对假设、观测、逼近、修正的想法做更多的讨论。

\subsection{历法、逼近和连分数}

早期人类可以在简单观察的基础上，建立朴素的日、月、年的概念；但是随着理解的深入，伴随不同的参考框架，使用不同的测量方案和定义方法，
日、月、年的朴素概念会衍生出多种不同的精确形式。下面给出两组重要的定义。

\begin{itemize}
\item 恒星日：相对于背景星空，地球的自转一周的时间，它可以通过测量某一颗恒星两次过中天的时间来确定；测定为 23 小时 56 分 4 秒（23.9361 小时）。
\item 恒星月：相对于背景星空，月亮回到同一位置的时间；它的平均值测定为 27 日 7 小时 43 分 11 秒（27.321661 日）
\item 恒星年：相对于背景星空，地球的公转一周的时间；测定为 365 日 6 小时 9 分 10 秒（365.242190402 日）。
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item 太阳日：在地球上某一地点，观察太阳两次过中天的时间；因为地球围绕太阳运动的不均匀性，太阳日也呈现不均匀性，但它全年的平均值被设定为 24 小时。
\item 朔望月：在地球上观察月亮的月相，月相是由地球、月亮和太阳的相对位置决定，可以简单认为两次相同月相之间间隔的时间就是朔望月；它的平均值被测定为 29 日 12 小时 44 分 3 秒（29.530588 日）。
\item 回归年：又称太阳年，是在地球上观察太阳两次过黄道上同一点的时间；测定为 365 日 5 小时 46 秒（365.242190419 日）。
\end{itemize}

历法往往有几个不同的时间周期组成，通过一些特殊的设置，来保证这些不同周期之间的协调性。比如，日、年和季节的关系是不能错乱的，否则人们无法顺利的安排生产和生活。
历法里这些特殊的设置，一般是通过在不同时间周期上置闰的做法来进行的。这里描述的基本原理虽然很容易，但一旦从朴素想法落实到精确地测量和计算，就会发现实际的处理并不简单。

$$
356 + \frac{5}{24} + \frac{48}{1440} + \frac{46}{86400} = 365 \frac{10463}{43200}
$$

策略：从这个比例，我们大致可以看出每 4 年要设一个闰年，这样是 365 天 6 小时；
所以只这样设置又会多一些，每 4 年会多出来 11 分 14 秒，于是大约 120 年会积累到接近 1 天，需要扣除；
如此往复，累积误差够一天就去增损天数；但上面的算法是最佳的逼近策略吗？

连分数概念的引入

Euclid 算法

最佳逼近定理

\subsection{神谕机与可学习}

神谕机

可学习性

学习的层次

\section{从第谷的大数乘法说起}




\section{开普勒到牛顿的飞跃}


\bibliography{biblio/chp01}

\chapter{运动的星体}

最基本的问题有哪些？

星体间几何关系的变化导致的事件序列关系。

宜居性？

\section{运动方程}

下面我们先从星体的动力学方程开始讨论。我们指定两颗恒星的下标分别是1、2，行星的下标为，于是三个星体的质量分别是$m_1$、$m_2$、$m_3$，
位置分别是矢量 $\mathbf{x_1}$、$\mathbf{x_2}$、$\mathbf{x_3}$；因为行星质量 $m_3$ 远小于两个恒星的质量，可建立如下限定性三体问题的运动方程：

$$
\begin{cases}
\ddot{\mathbf{x_1}} = Gm_2r_{12}^{-2} \mathbf{e_{12}}\\
\ddot{\mathbf{x_2}} = Gm_1r_{21}^{-2} \mathbf{e_{21}}\\
\ddot{\mathbf{x_3}} = Gm_1r_{31}^{-2} \mathbf{e_{31}} + Gm_2r_{32}^{-2} \mathbf{e_{32}}
\end{cases}
$$

其中$r_{ij}$ 为星体 i 和 j 之间的距离，$\mathbf{e_{ij}}$ 为星体 i 和 j 之间的单位方向矢量。

\section{方程的解算}

三体系统很多情况下是不稳定的，常常会有一颗星体被抛射到无穷远处。
下图便是三体体系的一个著名例子—毕达哥拉斯三体问题的轨道演化图。两颗质量较大的星体相互围绕旋转下行，而质量最小的第三颗星体则被甩出，沿着双曲线上行。

毕达哥拉斯三体问题

我们问题的运动方程建立之后，便可以数值求解这个二阶常微分方程。理论上讲，我们忽略了行星的质量，会让系统的稳定性提高很多。
我们用最常用的数值求解方法—龙格库塔法[6]求解了该问题；但发现由于误差的积累效应， 整个体系不保持能量守恒；
于是，大多数情况下，三星体体系不稳定，行星会很快被抛出双星系。

这种不符合能量守恒的计算解中的能量变化，被称为能量漂移（Energy drift）。为了消除能量漂移，人们引入了辛方法来计算此类问题。
辛方法会保持系统的能量守恒。我们在这里则采用了一种二阶的辛方法 Verlet 积分。采用 Verlet 积分方法之后，我们就很容易计算出一条稳定的轨道了。

\section{天球系统}

为了更好的陈述后面几节，我们将讨论天球系统，我们以地球的天球系统为基础展开讨论。

天球是一个假想的以行星地心为球心的几何球面，行星自转导致恒星（母星和背景星空）在天球上有以天为单位的周日运动，
行星的公转导致恒星在天球上有以年为单位的周年运动。

地球天球的示意图

地球上天球的主要几何元素包括：

南、北天极：它们的指向长时间稳定
赤道面：以极轴为法线的大圆面
黄道面：本系统恒星周年运动所在的平面
黄赤交角：数值上等同于行星的自转轨道倾角

以上几何元素在瓦克星上依然成立。不一样的地方在于，黄道上有两颗母星沿着它运动。和地球类似，恒星的周日运动依然存在 ；但周年运动则大相径庭，
两颗母星的周年运动轨迹比较复杂，我们在后面章节仅作简单讨论，更多结果有待进一步研究。

\section{宜居性}

我们以液态水的稳定存在作为行星的宜居条件，可以做如下最为粗略的估计。假设母星为黑体且表面温度分别为 $T_1$ 和 $T_2$ ，母星的半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，瓦克星的行星反照率为 $\alpha$，半径为 $R_3$ ，视瓦克星为黑体且表面温度为 $T_3$  ，可以建立如下方程：

$$\left ( 1 - \alpha \right ) \left(  \frac{4 \pi R_1^2 \sigma T_1^4} {4 \pi r_{13}^2} + \frac{4 \pi R_2^2 \sigma T_2^4} {4 \pi r_{23}^2} \right ) \pi R_3^2= 4 \pi R_3^2 \sigma T_3^4$$

化简即得：

$$T_3 = \left[ \frac{1}{4} \left( 1 - \alpha \right ) \left( \frac{R_1^2}{r_{13}^2} T_1^4 + \frac{R_2^2}{r_{23}^2} T_2^4 \right ) \right ]^{\frac{1}{4}}$$

对地球而言，$\alpha$ 取值在 0.3 附近。

考虑到大气层的温室效应，我们只要令 $T_3$ 保持在 0 附近即可。

虽然这里宜居条件的估计涉及行星表面的物理机制，但最终化简的公式里，只保留了一些纯几何量的简单对比。所以，我们仍然把宜居问题的粗略估计纳入到恒星系建模的范围里。

\section{四方位}

方位感是人类内在生物机制。可是空间上的秩序并非空间自有的属性，是人类叠加到物理世界上的。可以说四方位、地名的概念是人类发明的最早的增强现实（Augmented Reality）的技术了。

从苏州地区的夜间卫星地图中的灯光可以看出，城市的街道格局是沿着东、西、南、北四个方向展开的。这其中的原因是因为在温带房子南北布局才能充分获得阳光。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{images/4_01-ISS-30_Nighttime_view_of_Shanghai.jpg}
\caption{国际空间站拍摄的城市夜景（图片来自于维基共享资源计划）}
\end{figure}

可以说，太阳的光和热深深的渗透到我们文化的底层。在我们的大多数文化里，东、西、南、北四个方位是在儿童时期便教育给下一代的基本概念，
我们会借助于太阳东升西落或者房屋、街道的布局来表达它们。然而，仔细考究四方的严格定义，必须得对日月星辰的运行有透彻的理解才可以。
而因为这些基本概念潜入、物化在我们文化的各处，我们也往往忘记了这些基本概念的来源。瓦克星则给我们一个反思的机会。

当我从新思考瓦克星环境里的四方概念时，走了一段弯路，才意识到四方概念的本质。

东、西：地球上是太阳在春秋分东升西落的方位；然而瓦克星的春秋分的时间如何精确测定？
南：正午的太阳位置、立杆影子最短、太阳的光强最大的位置；然而有两个太阳，如何处理？
北：地球是北极星的位置；然而如果瓦克星没有北极星，那怎么测北？

似乎确定每个方向都会遇到一些问题。

我从南开始入手，写了数值模拟程序，看温带房子哪个方位布局才能最大获得阳光。我希望能看到一个不一样的结果，然而结果就是和地球一样的正南方。

由此，我才恍然大悟：自转轴相对保持恒定，这是四方概念成立的根源；所以，“北”是本质性的，其他三个概念都可以导出。

当然，瓦克星上还是有和地球不一样的地方。

比如，和四方联系的分至四时，在地球上会和昼夜平分、极昼、极夜现象联系起来。我们考察瓦克星时发现了一个奇特现象—双极昼现象。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{images/4_02-day-night.png}
\caption{瓦克星上的双极昼现象}
\end{figure}

我们可以清楚看到，瓦克星南北两极都处于极昼。

\section{昼夜晨昏}

昼夜现象是由三颗星体和行星的旋转轴之间的相对几何关系确定的。容易想见在行星的球体表面上，每一个母星都对应一个昼夜变更的大圆 ，
它们对应圆面   和   的法线方向分别是    和   。 容易看出   是黄道面   的法线。

对比于昼夜现象的时间周期，我们可以不考虑岁差现象[11]， 如同地球上的北极指向长期保持在北极星附近， 瓦克星的旋转轴  也是长期相对稳定的。
赤道面   的法线就是旋转轴  。

将以上关系编程就可以很容易模拟出瓦克星上的昼夜现象。那么瓦克星上的昼夜现象有什么特别的吗？ 通过模拟我们发现，一年中会有短暂的几天时间，
瓦克星的南北两极同时处于极昼之中。这和地球大相径庭，地球上南极处于极昼，则北极处于极夜，或者反之。

\section{年}

正东、正西方位可以从正南、正北方位推导出来。但在地球上与此有关的概念还包括分至四时—春分、夏至、秋分、冬至；
在地球的各大文化里，这四个时间点往往有重要的天文与文化含义。

在春秋分点， 全球昼夜平分，太阳从正东升起、正西落下，太阳直射赤道；在夏至点，北半球那一天白昼时间最长，太阳升起和落下点位置最偏北，
中午立杆的影子最短，太阳直射南回归线； 冬至点则有类似的对偶现象。

那么瓦克星上会怎么样呢？容易理解的一点是，大多数周期性不再简单保持了。但更加透彻的理解这类问题，需要我们完整建立瓦克星的天球系统。
天球系统以背景星空为基准，然后确定各个星体在天球上的运动方式。当特定的几何关系出现时，就发生一定的天文事件。我们简单罗列一些容易观察到的事件：

母星沿着黄道运动到黄赤交点，此时母星直射赤道、正东正西起落，昼夜平分
某个母星对应白昼时间最长的正午时间点，此时这个母星直射某条回归线，中午立杆的影子全年最短。
两个母星的视夹角为0的点，此时发生食变
两个母星的视夹角最大

所以这里有一个重要的理论问题—确定星体间的这些几何关系发生的先后关系和周期。

\bibliographystyle{abbrvnat}
\bibliography{biblio/chp02}

\chapter{再造行星世界}

行星建模是涉及行星表面物理机制的建模过程。我们完成了地表特征的生成、估计温室效应和对大气现象的初步模拟。

最基本的问题有哪些？

星球的形态？大陆与海洋

潮汐？浪高

大气各参量的极值？扰动形成的几何纹样？几何纹样的破坏与建立？洋流？

季节？

\section{大陆与海洋}

菱形方块算法[18]是常用的地表特征生成算法，它的常见形式是在一个方形区域上展开的。我们对它稍加变形，让它适应球面上地表特征生成的特殊需求。

如下图，标准的菱形方块算法反复执行如下两个大的步骤。


菱形方块算法的中心点生成

方块步骤：

取方块四角点的平均值作为中心点的基础值
再在基础值上叠加一个反映粗糙度的随机值，该随机值与方块边长和粗糙度正相关

菱形步骤：

取菱形四角点的平均值作为中心点的基础值
再在基础值上叠加一个反映粗糙度的随机值，该随机值与菱形边长和粗糙度正相关

两个步骤交错执行，会逐渐把方形区域密分填满。

我们在球面经纬网格基础上改造钻石方块算法，主要有四个要点：

最左经线和最右经线要粘合在一起，其上的对应格点取相同值
最上的纬线是北极点，要粘合成一个点，该纬线上的格点取相同值
最下的纬线是南极点，要粘合成一个点，该纬线上的格点取相同值
不同纬线上格点的间隔长度不等，与纬度的余弦成正比

算法中基础值会叠加一个随机的粗糙量，但实际模拟中我们寻求的是一个固定的地表特征，怎么解决这个问题呢？其实，只要采用确定性的伪随机数生成器[19]，
同时赋予生成器相同的种子（seed），就可以顺利解决问题。

下图就是我们生成出来的一幅瓦克星全球地形图。可以看到有两个大陆和两个大的岛屿。大陆上有山地、高原、平原等地形区别。
当把地图按照相应的经纬度投影到球面之上，我们便得到了本文图（一）的瓦克星全球的俯视图，加上恒星照射产生的白昼和黑夜便得到了图（二）中的景象。

\section{温室效应}

本节我们用一个简化模型来估计瓦克星的温室效应。一方面，我们不考虑地气系统的纬向差异，认为系统参量只是纬度的函数。另一方面，我们假设瓦克星类似于地球，有相同的地气系统辐射平衡模式[21]。


图（十）
地球地气系统能量收支平衡示意图，图片来源 于NASA

我们设定  和  代表地表温度和大气温度，它们都是纬度  和时间  的函数。   代表全球的平均大气温度。 和   分别代表母星一和二的入射短波辐射带来的能量。我们考虑下垫面[22]的物态变化，如是否结冰，它会影响反照率  和比热容  。

依据能量转移过程的不同，我们做如下讨论：

短波辐射的大气吸收：

短波辐射的地面吸收：

地面的长波辐射的发出：

大气长波辐射的发出：

长波辐射的大气吸收：

长波辐射的地面吸收：

地面和大气之间的热交换（热力泡和蒸发 ）：

由于不同纬度带之间温度差异，会带来大气热交换；一般而言，同一纬度带会有能量流入和流出，其净差我们可以设为：

上述公式中的参量可以通过和地球一样的假定值来获得。联立前面诸公式有

我们可以根据本式展开模拟。


\section{气温的纬度分布}

\section{大气环流}

将基本的物理定律应用于大气的运动，我们可以得到大气运动基本方程[23]：



理论上，只要对上述基本运动方程差分化，我们可以直接应用最简单的欧拉法[24]来解算这个偏微分方程。我们这样做了，在经纬网格上展开了计算。在这个过程里遇到了一系列出乎意料但有意思的问题，这里我们仅举一个例子—极点问题。

在经纬网格里，极点被展成了90°纬线圈，从球面的一个内点转而变成了特殊的边界线。在解算偏微分方程时，我们需要引入什么样的边界条件才能表达极点的特殊性呢？

容易看到，对于极点上的标量  ，标量从一个点值变成经度  的函数：



对于极点上的一个长度为  沿着经度  指向极点的向量  ，该向量也应该变成经度  的向量函数  ，但该函数在经纬网格里应该取什么形式呢？假设向量  属于球面上的一个连续向量场  。对于极点附近的一个充分小的纬度圈 ，可以认为向量场  在整个小纬度圈上保持向量  不变，转换到经纬网格里有：



可以看到径线和纬线方向的分量值都和  的大小无关。我们可以认为极点的情况作为  的一种极限，采取和上式相同的形式。

我们的这个模拟在处理地面和大气的长波辐射方面还有一些缺陷，导致长期计算时系统发散，这些缺陷会在未来的计划里改进。这里只给大家展示我们的一部分模拟结果。


图（十一）
模拟开始时刻0度经圈气温沿着高度的分布状况



图（十二）
模拟一段时间之后0度经圈气温沿着高度的分布状况

上面两个图展示了，模拟开始和进行一段时间之后，气温沿着高度的分布状况。气温高的颜色是红色，气温低的颜色是蓝色。对比上面两个图可以发现，模拟开始时，地面长波辐射被近地大气层吸收，所以近地的气温高，而高空是冷的；然而系统演化一段时间之后，大气温度随着高度上升首先是出现逆变，高空中出现冷气层，渡过冷气层继续上升后，温度才开始上升。这恰巧和地球上的实际情况吻合，冷气层以下是对流层[25]，冷气层以上是平流层[26]。

\section{海气耦合}

\section{理想大陆}

\section{季节}

\bibliography{biblio/chp03}

\chapter{重建生物圈}

最基本的问题有哪些？

生命体的尺度与形态是什么样？
生命体基于什么机制运作？
是否有植物与动物的分野？
生命体之间有什么样的连接关系？
什么样的生态景观？

\section{生命与演化}

\section{尺度的大小}

我们先回顾地球生物的异速生长现象。异速生长律是实际测量到的一类幂率关系，
它把生物体的尺度同其生理、生态特征联系起来。而这个观测到的幂率，往往不同于将生命体几何结构同构扩张后得到的理论幂率，故此称为异速生长。

文献中经常提到的异速生长现象包括：

体重和摄食率正相关，幂率为 0.7。
体重和基础代谢率水平正相关，幂率为 0.75，称为克莱伯定律
体重与内禀增长率负相关，幂率大约在 -0.27 左右

我们其实可以把异速生长律理解为一种高效的编码方式，仅仅尺度一个参数就决定了生理学和生态学的很多特征。

形态学信息：对植物来说，可以包括L系统的生长规则；对动物来说可以包括特征尺度、骨架结构、体重等
行为学的信息：如最大奔跑速度
生态学信息：内禀增长率、食谱组成等

\section{植物和形态}

\section{动物、形态和行为}

\section{生态带}

\bibliography{biblio/chp04}

\chapter{神秘的智能}

最基本的问题有哪些？

\section{生物学的视角}

\section{物理学的视角}

\section{数学的视角}

\bibliography{biblio/chp05}

\chapter{另辟蹊径的文化}

最基本的问题有哪些？

数制、逻辑是否是普遍的？

语言：基础词汇、语法范畴的人类学考察？

文字：？

\section{数制}

大约在 18000 ～ 20000 BC 的 Ishango 骨刻，是目前人们发现的最早和数目有关的考古实物，它处在刻痕记事的阶段。
如果不考虑实物的形态，仅从抽象角度看，在这个阶段人们采用符号 1 的累记来表示更大的数目。
这种方式在表示形式上极为繁赘，尤其对大的数目，几乎不具有实际的可行性。但凭借这种简单的记号，人们有了对数目概念的理解。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{images/IshangoAllColumns.png}
\caption{Ishango 骨刻（图片来自于维基共享资源计划）}
\end{figure}

在这个阶段，人们可以通过分堆的方法进行乘法运算。但这种方法仅仅限于小数目之间的乘法。

\begin{table}[tbhp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\specialcell{ \ding{108} \\ \ding{108}\ding{108} } &
\specialcell{ \ding{108} \\ \ding{108}\ding{108} } &
\specialcell{ \ding{108} \\ \ding{108}\ding{108} } &
\specialcell{ \ding{108} \\ \ding{108}\ding{108} } &
\specialcell{ \ding{108} \\ \ding{108}\ding{108} } \\
\hline
\end{tabular}
\caption{计算 3 与 5 的乘积}
\end{table}

人类进入文明以后，有了对抽象符号更强的操作能力。在古埃及，人们发明了另外一种复杂的计数体系，它能表示整数、分数和相关运算。
我们这里仅仅简单展示整数的表示和乘法运算。

\begin{table}[tbhp]
\centering
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
数值 & 一 & 十 & 百 & 千 & 万 & 十万 & 百万 \\
符号 & \pmglyph{\Hone} & \pmglyph{\Hten} & \pmglyph{\Hhundred} & \pmglyph{\Hthousand} & \pmglyph{\HXthousand} & \pmglyph{\HCthousand} & \pmglyph{\Hmillion} \\
描述 & 单竖线 & 踵骨 & 绳圈 & 水莲 & 屈指 & 蝌蚪 & Heh 神\\
\hline
\end{tabular}
\caption{古埃及象形文字里的整数符号}
\end{table}

组合上述的基本符号，古埃及人可以表达一些相对较大的整数。但古埃及人组合这些符号的方式，并没有非常严格的方法：
既可以从左向右，也可以从右向左，有时也会竖写。除此以外，古埃及人做乘法的方式，更加显示出他们的数制还处于一种早期形态。
下图展示了古埃及人如何计算 11 与 35 乘积的过程。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{images/ancient_egypt_multiplication.jpg}
\caption{计算 11 与 35 乘积}
\end{figure}

在这种方法里，首先构造 2 的幂的序列1、2、4、8……，同时 35 也按照 2 倍的关系相应扩大。
然后可以看出，11 能被分解成为了 1、2、8 的和，所以只要把 35 倍数里的 35、70、280 累加就可以得到结果。

但是数制的更加成熟的形态是数位制。在许多古文明中，数位制都被发明出来，如古巴比伦的 60 进制系统、古印第安文明的 20 进制系统。
对于乘法运算，中国古代很早就发明了九九乘法表，清华简中的“算表”作为考古实物依据，把发明年代至少向前推进到战国时代。
十进数位制和九九乘法表结合在一起，人们能够完整的表达所有自然数，并计算任意自然数的乘法。
当今，阿拉伯数字符号、十进数位制、九九乘法表都作为基础教育的内容，成为全人类分享的文明成果。

\begin{table}[tbhp]
\centering
\begin{tabular}{cccccccccccccccccccccccccccccccccccc}
  &   &   &   &   &   &   &   & 2 & 3 & 9 & 5 & 8 & 2 & 3 & 3\\
× &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 5 & 8 & 3 & 0\\
\hline
  &   &   &   &   &   &   &   & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
  &   &   &   &   &   &   & 7 & 1 & 8 & 7 & 4 & 6 & 9 & 9 &  \\
  &   &   &   &   & 1 & 9 & 1 & 6 & 6 & 5 & 8 & 6 & 4 &   &  \\
  &   & + &   & 1 & 1 & 9 & 7 & 9 & 1 & 1 & 6 & 5 &   &   &  \\
\hline
  &   &   &   & 1 & 3 & 9 & 6 & 7 & 6 & 4 & 9 & 8 & 3 & 9 & 0\\
\end{tabular}
\caption{竖式乘法的例子}
\end{table}

\section{逻辑}

\section{历法}

历法是一种文化的计时方法，它也有服务于农业生产的目的。由此我们有天文历和农业历的分别；前者依据天文现象的周期性来计时，后者依据气候现象的周期性来指导农业生产。

地球上太阳的周年运动决定了地球的光热条件，进而决定了气候现象大的变化，因此，对于地球的许多文化，天文历和农业历是吻合的。那么瓦克星上会有什么不同呢？

基于我们的数值模拟，我们先考察一些现象的周期性：

恒星的周日视运动保持相对稳定的周期，因此天的概念会得到保持。
相对于背景星空，和行星公转相联系的周期是类周期的，因此年的概念需要修正。
行星上最显著的天文事件是两颗母星的食变，但该类事件是类周期的。
行星接收到的来自两颗母星的能量，有显著的年际变化，但存在一个以几年为跨度的类周期性。

因此，我们可以推测瓦克星的历法有如下几种类型：

星历：以背景星空为基准
食历：以两颗母星的食变为基准
农历：以气候周期为基准

这三种历法的基准都是类周期的，且周期各不相同，因此维护瓦克星的历法系统需要随时保持对各种星体的观测。
三种历法中，食历和农历的确立基准比较易于观测，因此容易被原始一些的文化建立；而星历的建立则复杂的多。

\section{文字}

\section{知识}

\bibliography{biblio/chp06}

\chapter{文明的其他可能}

\section{市场}

\section{城市}

\section{国家}

\bibliography{biblio/chp07}

\chapter{终极的命题}

\bibliography{biblio/chp08}

\begin{appendices}
\chapter{习题解答线索}

\bibliography{biblio/appdx}

\end{appendices}

\end{document}