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\section{Trasformata Discreta di Fourier}
Si definisce Trasformata Discreta di Fourier:
\begin{gather}
x_{[nT]} \overunderset{TDF}{ATDF}{\rightleftharpoons} \overline{X}_{(f)} \nonumber \\
\overline{X}_{(f)} \in \mathbb{C}: \begin{cases}
\left| \overline{X}_{(f)} \right| \nonumber \\
\angle \overline{X}_{(f)} \nonumber
\end{cases} \text{é una funzione periodica di periodo }\frac{1}{T}\nonumber
\end{gather}
\subsubsection{Equazione di Analisi - $TDF$} \label{TDF}
\[
\overline{X}_{(f)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{[nT]}e^{-j2\pi fnT}
\]
\subsubsection{Equazione di Sintesi - $ATDF$} \label{ATDF}
\[
x_{[nT]} = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} \overline{X}_{(f)}e^{j2\pi fnT} df
\]
\subsubsection{Trasformata di $\delta_{[n]}$}\label{tdf sequenza di delta}
\begin{gather}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta_{(t-nT)} \overset{\ref{prima formula di poisson}}{=} \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \Delta_{(\frac{k}{T})}e^{-j2\pi \frac{k}{T}t} \overset{\Delta \text{ costante}}{=} \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \frac{k}{T}t} \nonumber \\
\Downarrow TCF\nonumber \\
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi fnT} = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{(f-\frac{k}{T})}\nonumber
\end{gather}
Applicando il ritardo:
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi (f-\nu)nT} = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{((f-\nu)-\frac{k}{T})}
\]
\subsubsection{Relazione tra $TCF$ e $TDF$}\label{Relazione tra $TCF$ e $TDF$}
\begin{align}
\overline{X}_{(f)} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{[nT]}e^{-j2\pi fnT} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underset{(\nu)}{\int_{-\infty}^{\infty}} X_{(\nu)} e^{-j2\pi \nu nT} d\nu e^{-j2\pi fnT} \nonumber \\
&= \underset{(\nu)}{\int_{-\infty}^{\infty}} X_{(\nu)} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \nu nT} e^{-j2\pi fnT} d\nu \overset{\ref{tdf sequenza di delta}}{=} \underset{(\nu)}{\int_{-\infty}^{\infty}} X_{(\nu)} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \delta_{((f-\nu)-\frac{k}{T})} d\nu \nonumber \\
&\overset{\ref{Propietá del Delta di Dirac}:\text{paritá}}{=} \underset{(\nu)}{\int_{-\infty}^{\infty}} X_{(\nu)} \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta_{(\nu-(f-\frac{k}{T}))} d\nu = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underset{(\nu)}{\int_{-\infty}^{\infty}} X_{(\nu)} \delta_{(\nu-(f-\frac{k}{T}))} d\nu \nonumber \\
&\overset{\ref{Propietá del Delta di Dirac}:\text{campionatrice}}{=} \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_{(f-\frac{k}{T})} \nonumber
\end{align}
quindi la $TDF$ si ottiene periodicizzando la $TCF$ con periodo $\frac{1}{T}$:
\[
\overline{X}_{(f)} = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_{(f-\frac{k}{T})}
\]
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-15:15,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$f$,
ylabel=$X_{(f)}$,
ymin=-0.3,
ymax=1.5,
xtick={-8,-2.5,2.5,8},
xticklabels={$-\frac{1}{T}$,$-B$,$B$,$\frac{1}{T}$},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
\addplot [thick,black, samples = 800] {exp(-x^2)};
\addplot [ultra thick,blue, domain = -11:-5, samples = 800] {exp(-(x+8)^2)};
\addplot [ultra thick,blue, domain = 5:11, samples = 800] {exp(-(x-8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = -2.5:2.5, samples = 900] {exp(-x^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = -11:-5, samples = 800] {exp(-(x+8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = 5:11, samples = 800] {exp(-(x-8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(-11,0)(-15,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(11,0)(15,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(-2,0)(-5,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(2,0)(5,0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{${\color{black} X_{(f)}}$,${\color{blue} X_{(f-\frac{k}{T})}}$,${\color{green} \overline{X}_{(f)}}$}
\label{fig:relazione tdf tcf}
\end{figure}
\subsection{Teorema del Campionamento - Nyquist Shannon}\label{Teorema del Campionamento - Nyquist Shannon}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[
node distance=3cm,
>=latex
]
% Blocks
\node [coordinate] (input) {};
\node [rectangle, draw,minimum height=2em, minimum width=4em,right of=input] (AD) {$A/D$};
\node [rectangle, draw,minimum height=2em, minimum width=4em,right of=AD] (DA) {$D/A$};
\node [coordinate,right of=DA] (output) {};
% Connections
\draw [->] (input) --node[above]{$x_{(t)}$} (AD);
\draw [->] (AD) --node[above]{$x_{[nT]}$} (DA);
\draw [->] (DA) --node[above]{$\hat{x}_{(t)}$} (output);
\end{tikzpicture}
\label{fig:Sistema di campionamento e ricostruzione}
\caption{Esempio sistema campionamento e ricostruzione}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item {
A/D: Campionatore, converte da analogico a discreto.
}
\item {
A/D: interpolatore o filtro $p$, converte da discreto a analogico.
}
\end{itemize}
Il nostro obbiettivo é dimensionare T e l'interpolatore in modo tale da poter ricostruire il segnale $\hat{x}:\ \hat{x} =x$.
\paragraph{Dimensioniamo l'$A/D$:} Riprendiamo la relazione tra $TDF$ e $TCF$:
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-15:15,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$f$,
ylabel=$X_{(f)}$,
ymin=-0.3,
ymax=1.5,
xtick={-8,-2.5,2.5,8},
xticklabels={$-\frac{1}{T}$,$-B$,$B$,$\frac{1}{T}$},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
\addplot [thick,black, samples = 800] {exp(-x^2)};
\addplot [ultra thick,blue, domain = -11:-5, samples = 800] {exp(-(x+8)^2)};
\addplot [ultra thick,blue, domain = 5:11, samples = 800] {exp(-(x-8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = -2.5:2.5, samples = 900] {exp(-x^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = -11:-5, samples = 800] {exp(-(x+8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = 5:11, samples = 800] {exp(-(x-8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(-11,0)(-15,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(11,0)(15,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(-2,0)(-5,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(2,0)(5,0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{${\color{black} X_{(f)}}$,${\color{blue} X_{(f-\frac{k}{T})}}$,${\color{green} \overline{X}_{(f)} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{(f-\frac{k}{T})}}$}
\label{fig:relazione tdf tcf campionamento f 2B}
\end{figure}
abbiamo trovato che la $TDF$ non é altro che la periodicizzazione della $TCF$ con periodo $\frac{1}{T}$: se $\frac{1}{T}\geq 2B$
il grafico ${\color{blue} X_{(f-\frac{k}{T})}}$ sono copie distinte non distorte e periodicizzate di $X_{(f)}$ da cui con un Filtro Passa-Basso \ref{Filtro Passa Basso di banda B - Low Pass Filter (LP)}
possiamo ricostruire il segnale. Se scegliessi $\frac{1}{T}<2B$:
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-15:15,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$f$,
ylabel=$X_{(f)}$,
ymin=-0.3,
ymax=1.5,
xtick={-9,-6,-3,-2.5,2.5,3,9,6},
xticklabels={$-\frac{3}{T}$,$-\frac{2}{T}$,$-\frac{1}{T}$,$-B$,$B$,$\frac{1}{T}$,$\frac{3}{T}$,$\frac{2}{T}$,},
xticklabel style={font = \small,scale = 0.7},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
\addplot [thick,black, samples = 800] {exp(-x^2)};
\addplot [thick,blue, domain = -6:0, samples = 800] {exp(-(x+3)^2)};
\addplot [thick,blue, domain = 0:6, samples = 800] {exp(-(x-3)^2)};
\addplot [thick,blue, domain = -9:-3, samples = 800] {exp(-(x+6)^2)};
\addplot [thick,blue, domain = 3:9, samples = 800] {exp(-(x-6)^2)};
\addplot [thick,blue, domain = -11:-6, samples = 800] {exp(-(x+9)^2)};
\addplot [thick,blue, domain = 6:11, samples = 800] {exp(-(x-9)^2)};
\addplot [thick,green , samples = 800] {0.3*cos(deg(2.1*x))+0.7};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{${\color{black} X_{(f)}}$,${\color{blue} X_{(f-\frac{k}{T})}}$,${\color{green} \overline{X}_{(f)} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{(f-\frac{k}{T})}}$}
\label{fig:relazione tdf tcf campionamento f sbagliata}
\end{figure}
ho sovrapposizione delle copie di $X_{(f)}$ é il fenomeno di Aliasing: ho sovrapposizione di segnali che alterano il segnale originale.
In entrambi i casi ci troviamo in condizione di un segnale a banda limitata, nel tempo rappresenta un segnale illimitato.
\paragraph{Dimensioniamo il $D/A$:}
Partiamo dalla relazione di $\hat{x}$:
\[
\hat{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}p_{(t-nT)},\ p\text{ interpolatore}
\]
Il segnale di uscita dal sistema dipende non solo dal periodo di campionamento $\frac{1}{T}$ ma anche dall'interpolatore che utilizziamo:
\begin{itemize}
\item {Interpolatore a mantenimento: mantiene il valore del segnale $x_{[nT]}$ per un periodo $T$
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$p_{(t)}$,
ymin=-0.3,
ymax=5,
xmax=5,
xtick={3},
xticklabels={$T$},
ytick={1.5},
width=9cm,
height=4.5cm
]
%x(t)
\addplot [const plot, thick, orange] coordinates{(0,0)(0,1.5)(3,1.5)(3,0)};
%Colors
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Interpolatore a mantenimento}
\label{fig:interpolatore a mantenimento}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$x_{(t)}$,
ymin=-0.3,
ymax=5,
xtick={},
xticklabels={},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
%x(t)
\addplot [thick,black, samples = 1000] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\addplot [const plot,thick,orange, samples = 20] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\addplot+ [ycomb, mark = none, dotted, black, samples = 20] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
%Colors
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{$x_{(t)}$,{\color{orange}$\hat{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}p_{(t-nT)}$}}
\label{fig:x con interpolatore a mantenimento}
\end{figure}
}
\item {Interpolatore Lineare: incrementa linearmente il valore di $\hat{x}$
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$p_{(t)}$,
ymin=0.3,
xmin=-5,
ymax=5,
xmax=5,
xtick={-1.7,1.7},
xticklabels={$-\frac{T}{2}$,$\frac{T}{2}$},
ytick={2},
yticklabels={$1$},
width=9cm,
height=5cm
]
\addplot [sharp plot,thick,orange] coordinates{(-2,0)(0,2)(2,0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Interpolatore Lineare}
\label{fig:interpolatore Lineare}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$x_{(t)}$,
ymin=-0.3,
ymax=5,
xtick={},
xticklabels={},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
\addplot [thick,black, samples = 1000] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\addplot [sharp plot,thick,orange, samples = 20] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\addplot+ [ycomb, mark = none, dotted, black, samples = 20] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{$x_{(t)}$,{\color{orange}$\hat{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}p_{(t-nT)}$}}
\label{fig:x con interpolatore Lineare}
\end{figure}
}
\end{itemize}
Passiamo alla frequenza:
\[
\hat{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}p_{(t-nT)} \overset{TCF}{\rightleftharpoons} \hat{X}_{(f)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}P_{(f)}e^{-j2\pi fnT}
\]
\begin{gather}
\hat{X}_{(f)} = P_{(f)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}e^{-j2\pi fnT} = P_{(f)}\overline{X}_{(f)} \nonumber \\
Se\ \hat{x}=x\ anche\ \hat{X}_{(f)} = X_{(f)}\nonumber \\
\Downarrow \ref{Relazione tra $TCF$ e $TDF$} \nonumber \\
X_{(f)} \overset{!}{=} P_{(f)}\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{(f-\frac{k}{T})} \nonumber
\end{gather}
dobbiamo dimensionare $P_{(f)}$ in modo tale da rendere vera $\hat{X}_{(f)} = X_{(f)}$
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-12:12,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$f$,
ylabel=$X_{(f)}$,
ymin=-0.3,
ymax=2,
xmax=12,
xmin=-12,
xtick={-8,-4,-3.2,-2.5,2.5,3.2,4,8},
xticklabels={$-\frac{1}{T}$,$-\frac{1}{2T}$,$-\frac{1}{3T}$,$-B$,$B$,$\frac{1}{3T}$,$\frac{1}{2T}$,$\frac{1}{T}$},
xticklabel style={font = \small,scale = 0.7},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=8cm
]
\addplot [thick,black, samples = 800] {0.5*exp(-x^2)};
\addplot [ultra thick,blue, domain = -11:-5, samples = 800] {0.5*exp(-(x+8)^2)};
\addplot [ultra thick,blue, domain = 5:11, samples = 800] {0.5*exp(-(x-8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = -2.5:2.5, samples = 900] {0.5*exp(-x^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = -11:-5, samples = 800] {0.5*exp(-(x+8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green, domain = 5:11, samples = 800] {0.5*exp(-(x-8)^2)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(-11,0)(-15,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(11,0)(15,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(-2,0)(-5,0)};
\addplot [densely dashed,very thick,green] coordinates{(2,0)(5,0)};
\addplot [const plot, thick,orange] coordinates{(-3.2,0)(-3.2,0.6)(3.2,0.6)(3.2,0)};
\addplot [const plot, dashed ,thick,orange] coordinates{(-11.2,0)(-11.2,0.6)(-4.8,0.6)(-4.8,0)};
\addplot [const plot, dashed ,thick,orange] coordinates{(4.8,0)(4.8,0.6)(11.2,0.6)(11.2,0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{${\color{black} X_{(f)}}$,${\color{blue} X_{(f-\frac{k}{T})}}$,${\color{orange} P_{(f)}}$}
\label{fig:tdf tcf dimansionamento interpolatore}
\end{figure}
Utilizziamo un filtro passa basso che abbia una durata in banda maggiore di $2B$ ma minore di $\frac{1}{2T}$ per lasciarci un pochino di margine e evitare di prendere
la copia del segnale successivo/precedente ($2B<T_r\leq\frac{1}{2T_s}$): prendiamo una durata $\frac{1}{2T_s}>2B$
\[
P_{(f)} = T rect\left(\frac{f}{2\frac{1}{2T}}\right)= T rect\left(fT\right) \overset{TCF}{\leftrightharpoons} p_{(t)} = \frac{T}{T}sinc\left(\frac{t}{T}\right)
\]
\paragraph{Interpolatore a seno cardinale:} Si utilizza un interpolatore a seno cardinale
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$p_{(t)}$,
ymin=-0.3,
ymax=1.5,
xtick={-4,-3,-2,-1,-0,0,0,1,2,3,4},
xticklabels={$-5T_s$,$-4T_s$,$-3T_s$,$-2T_s$,$-T_s$,$0$,$T_s$,$2T_s$,$3T_s$,$4T_s$,$5T_s$},
ytick={1},
yticklabels={$1$},
width=12cm,
height=5cm
]
%x(t)
\addplot [blue, thick, samples = 100] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Interpolatore a seno cardinale}
\label{fig:interpolatore a seno cardinale}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$x_{(t)}$,
ymin=-0.3,
ymax=5,
xtick={},
xticklabels={},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
\addplot [thick,black, samples = 1000] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\addplot [smooth,thick,orange, samples = 20] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\addplot+ [ycomb, mark = none, dotted, black, samples = 20] {(x/3*sin(deg(6*x))+1.5)*((x/20)+1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{$x_{(t)}$,{\color{orange}$\hat{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}p_{(t-nT)}$}}
\label{fig:x con interpolatore a seno cardinale}
\end{figure}
l'interpolatore a seno cardinale non é causale: essendo delle $sinc$ a ogni campionamento, non posso conoscere il peso delle $sinc$
dei valori della sequenza successivi. Se opero non Real Time (Virtuale), invece ho infiniti campioni a cui posso attingere: Risolvo entrambi i
problemi troncando la $sinc$ e spostandola a dx, ma per troncarla sto moltiplicando una $sinc$ per una $rect$ nel tempo, passando alla frequenza
la funzione limitata nel tempo diventa illimitata in frequenza andando a influenzare anche le repliche successive.
\paragraph{Teorema del Campionamento:} Dato un segnale analogico $x_{(t)}$ la cui banda di frequenze sia limitata e dato $c\in \mathbb{Z}$,
il segnale $x_{(t)}$ puó essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni $x_{[nT]}$ presi a frequenza (o periodo) $f_s = \frac{1}{T}$ se
$f_s = \frac{1}{T} \geq 2B$ mediante:
\[
x_{(t)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{[nT]}sinc\left(\frac{t}{T}-n\right)
\]
Criticitá
\begin{itemize}
\item {Segnale a banda limitata}
\item {Interpolatore dimensionato}
\end{itemize}
Osservazioni: Se utilizzassi un filtro con durata $\frac{1}{T}>>2B$ prenderei tantissimi campioni che
non servono per ricostruire meglio il segnale: dagli esempi di matlab possiamo vedere che ci basta anche solo un periodo uguale a $2B$.\\
Esempio:
\[
B = 10KHz,\ 2B = 20KHz,\ \text{Durata filtro} = 25KHz\ ho\ 5KHz\text{ di margine}
\]
Esempio:$f_s = \frac{1}{T} = 2B,\ p_{(t)}=sinc(2Bt)$
\begin{gather}
\hat{x}_{(t)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{[nT]}sinc\left(2Bt-n\right) \nonumber \\
\hat{x}_{(t_0)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{[nT]}sinc\left(2Bt_0-n\right) \nonumber
\end{gather}
$\hat{x}_{(t_0)}$ dipende dal contributo di tutte le $sinc$ anche dei valori successivi, per questo si pone il problema del filtro causale.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$x_{(t)}$,
ymin=-0.3,
ymax=5,
xtick={1.3},
xticklabels={$t_0$},
ytick={},
yticklabels={},
width=12cm,
height=5cm
]
% 0.53 periodo
\addplot [thin,dotted,black, samples = 1000] {(x/3*sin(deg(6*(x-1)))+1.5)*(((x-1)/20)+1)};
\addplot+ [ycomb, mark = *, dotted, blue,thick, samples = 7] {(x/3*sin(deg(6*(x-1)))+1.5)*(((x-1)/20)+1)};
% Sinc x positive
\addplot [orange, thick, samples = 500] {1.4*sin(deg((x)*pi*0.6))/((x)*pi*0.6)};
\addplot [orange, thick, samples = 500] {1.15*sin(deg((x-1.65)*pi*0.6))/((x-1.65)*pi*0.6)};
\addplot [orange, thick, samples = 500] {2.9*sin(deg((x-3.35)*pi*0.6))/((x-3.35)*pi*0.6)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-1.325)*pi*2))/((x-1.325)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-1.855)*pi*2))/((x-1.855)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-2.385)*pi*2))/((x-2.385)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-2.915)*pi*2))/((x-2.915)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-3.445)*pi*2))/((x-3.445)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-3.975)*pi*2))/((x-3.975)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x-4.505)*pi*2))/((x-4.505)*pi*2)};
% Sinc x negative
\addplot [orange, thick, samples = 500] {1.15*sin(deg((x+1.65)*pi*0.6))/((x+1.65)*pi*0.6)};
\addplot [orange, thick, samples = 500] {1.8*sin(deg((x+3.35)*pi*0.6))/((x+3.35)*pi*0.6)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x+1.855)*pi*2))/((x+1.855)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x+2.385)*pi*2))/((x+2.385)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x+2.915)*pi*2))/((x+2.915)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x+3.445)*pi*2))/((x+3.445)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x+3.975)*pi*2))/((x+3.975)*pi*2)};
% \addplot [orange, thick, samples = 500] {1.3*sin(deg((x+4.505)*pi*2))/((x+4.505)*pi*2)};
\addplot [black, thick,dashed] coordinates{(1.3,0)(1.3,5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{$x_{(t)}$,{\color{orange}$\hat{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{[nT]}p_{(t-nT)}$}}
\label{fig:Interpolatore seno cardinale}
\end{figure}
I passi in un sistema A/D/A sono:
\begin{itemize}
\item {Passo dal tempo in frequenza: $x_{(t)} \overset{TCF}{\rightleftharpoons} X_{(f)}$}.
\item {Osservo la banda che occupa il segnale e scelgo $B$.}
\item {Scelgo una frequenza (periodo) di campionamento $f_s$ e calcolo $x_{[nT]}$.}
\item {Calcolo $\hat{x}$ con un interpolatore a seno cardinale,$sinc$}
\end{itemize}