forked from master/algo
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
lecture2.tex
403 lines (348 loc) · 16.4 KB
/
lecture2.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amssymb,amsmath,graphicx,indentfirst}
\usepackage{caption}
\usepackage{color}
\usepackage{listings}
\usepackage[unicode]{hyperref}
\setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
\captionsetup[figure]{labelformat=empty}
\captionsetup[figure]{justification=centering}
\lstset{keywordstyle=\color{blue}\bfseries}
\lstset{extendedchars=false, language=Caml, defaultdialect=[Objective]Caml}
\author{Олег Смирнов\\
\texttt{oleg.smirnov@gmail.com}}
\date{6 октября 2011 г.}
\title{Построение и анализ алгоритмов -- Лекция 2. Анализ рекуррентных
соотношений. Основная теорема}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section*{Цель лекции}
\begin{itemize}
\item Cтрогие математические определения для $O$-, $\Omega$- $\Theta$-нотации
\item Методы решения рекурентностей: подстановка, дерево рекурсии и основная
теорема
\end{itemize}
\section{Асимптотическая нотация}
\subsection{$O$-обозначения}
В случае, когда необходимо определить только \emph{асимптотическую верхнюю
границу}, используют $O$-обозначения:
\begin{equation*}
f(n) = O(g(n)) \Rightarrow \exists c, n_0 > 0 \text{ такие, что }
0 \leqslant f(n) \leqslant c g(n), \forall n > n_0
\end{equation*}
$O(g(n))$ можно рассматривать как множество функций:
\begin{equation*}
O(g(n)) = \{f(n): \exists c, n_0 > 0 \text{ такие, что }
0 \leqslant f(n) \leqslant c g(n), \forall n > n_0
\}
\end{equation*}
Пример:
\begin{equation*}
2n^3 = O(n^3) \text{ для } c = 1, n_0 = 2 \text{ или } 2n^3 \in O(n^3)
\end{equation*}
Определение через множество можно использовать в качестве ``макроса''
-- $O$-нотация в формуле обозначает некоторую функцию из соответствующего
семейства.
Пример:
\begin{equation*}
n^2 + O(n) = O(n^2) \text{ означает } \forall f(n) \in O(n):
\exists h(n) \in O(n^2): n^2 + f(n) = h(n)
\end{equation*}
\subsection{$\Omega$-обозначения}
Для определения \emph{асимптотической нижней границы} есть $\Omega$-обозначение:
\begin{equation*}
\Omega(g(n)) = \{f(n): \exists c, n_0 > 0 \text{ такие, что }
0 \leqslant c g(n) \leqslant f(n), \forall n > n_0
\}
\end{equation*}
Пример:
\begin{equation*}
\sqrt(n) = \Omega(\lg n) \text{ для } c = 1, n_0 = 16
\end{equation*}
\subsection{$\Theta$-обозначения}
Для точной оценки используется $\Theta$-обозначение. Его можно ввести
несколькими способами:
\begin{itemize}
\item Теорема: для любых двух функций $f(n)$ и $g(n)$ соотношение
$f(n)~=~\Theta(g(n))$ верно тогда и только тогда, когда $f(n)~=~O(g(n))$ и
$f(n)~=~\Omega(g(n))$
\item Пересечение множеств:
$f(n)~=~\Theta(g(n))$ $\iff$ $f(n)~=~O(g(n))~\cap~\Omega(g(n))$
\end{itemize}
Пример:
\begin{equation*}
\frac{1}{2}n^2 - 2n = \Theta(n^2)
\end{equation*}
\subsection{$o$- и $\omega$-обозначения}
$o$- и $\omega$-обозначения являются версиями определений $O$ и $\Omega$,
которые выполняются \emph{для любой константы $c$}, т.е. не являются
асимптотически строгими. Формально:
\begin{equation*}
o(g(n)) = \{f(n): \forall c > 0: \exists n_0 > 0 \text{ такое, что }
0 \leqslant f(n) \leqslant c g(n), \forall n > n_0
\}
\end{equation*}
Функция $f(n)$ пренебрежимо мала по сравнению с функцией $g(n)$ при $n$
стремящемся к бесконечности, т.е.:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)} = 0
\end{equation*}
Пример:
\begin{equation*}
2n^2 = o(n^3) \text{ для } n_0 = \frac{2}{c}
\end{equation*}
Аналогично:
\begin{equation*}
\omega(g(n)) = \{f(n): \forall c > 0: \exists n_0 > 0 \text{ такое, что }
0 \leqslant c g(n) \leqslant f(n), \forall n > n_0
\}
\end{equation*}
Пример:
\begin{equation*}
\sqrt(n) = \omega(\lg n) \text{ для } n_0 = 1 + \frac{1}{c}
\end{equation*}
\subsection{Некоторые свойства}
Из определений вытекают некоторые свойства асимтотических сравнений:
\begin{itemize}
\item Транзитивность
\begin{align*}
f(n) = \Theta(g(n)) \land g(n) = \Theta(h(n)) \Rightarrow f(n) = \Theta(h(n)) \\
f(n) = O(g(n)) \land g(n) = O(h(n)) \Rightarrow f(n) = O(h(n)) \\
f(n) = \Omega(g(n)) \land g(n) = \Omega(h(n)) \Rightarrow f(n) = \Omega(h(n)) \\
f(n) = o(g(n)) \land g(n) = o(h(n)) \Rightarrow f(n) = o(h(n)) \\
f(n) = \omega(g(n)) \land g(n) = \omega(h(n)) \Rightarrow f(n) = \omega(h(n))
\end{align*}
\item Рефлексивность
\begin{align*}
f(n) = \Theta(f(n)) \\
f(n) = O(f(n)) \\
f(n) = \Omega(f(n))
\end{align*}
\item Симметричность
\begin{equation*}
f(n) = \Theta(g(n)) \iff g(n) = \Theta(f(n))
\end{equation*}
\item Перестановочная симметрия
\begin{align*}
f(n) = O(g(n)) \iff g(n) = \Omega(f(n)) \\
f(n) = o(g(n)) \iff g(n) = \omega(f(n))
\end{align*}
\end{itemize}
Таким образом можно провести аналогию между символами нотации и операциями
сравнения рациональных чисел:
\begin{align*}
f(n) = \Theta(g(n)) \approx f(n) = g(n) \\
f(n) = O(g(n)) \approx f(n) \leqslant g(n) \\
f(n) = \Omega(g(n)) \approx f(n) \geqslant g(n) \\
f(n) = o(g(n)) \approx f(n) < g(n) \\
f(n) = \omega(g(n)) \approx f(n) > g(n)
\end{align*}
\section{Рекуррентные соотношения}
По определению, рекуррентное соотношение -- это уравнение или неравенство,
описывающее функцию с использованием её самой, но только с меньшими аргументами.
Обычно рекуррентное соотношение описывается в виде системы граничных условий
и формулы для общего случая, например:
\begin{equation*}
T(n) = \begin{cases}
\Theta(1), \text{ если } n = 1 \\
2\Theta(n/2) + \Theta(n), \text{ если } n > 1
\end{cases}
\end{equation*}
Для решения таких соотношений использутся несколько методов: подстановки,
деревьев рекурсии и основная теорема.
\section{Метод подстановки}
Метод состоит из трех шагов:
\begin{itemize}
\item делается догадка о виде решения
\item с помощью метода математической индукции доказывается, что решение правильное
\item вычисляются константы
\end{itemize}
\subsection{Примеры решения}
\begin{equation*}
T(n) = 4T(n/2) + n
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item случаи $O$ и для $\Omega$ рассматриваются отдельно
\item догадка: $T(n) = O(n^3)$
\item пусть $T(k) \leqslant c k^3$ для $k < n$ (гипотеза)
\item необходимо доказать методом мат. индукции, что $T(n) \leqslant c n^3$
\end{itemize}
\begin{align*}
T(n) = 4T(n/2) + n \\
\leqslant 4c(n/2)^3 + n \\
= (c/2)n^3 + n \\
= c n^3 - ((c/2)n^3 -n) \\
\leqslant c n^3
\end{align*}
Неравенство выполняется, когда ``остаточная часть'' $(c/2)n^3 -n$ больше нуля,
т.е. для любой константы $c \geqslant 2$ и $n \geqslant 1$.
Доказательство базового случая:
\begin{align*}
T(n) = \Theta(1), n < n_0 \\
1 \leqslant n < n_0 \\
\Theta(1) \leqslant c n^3 \\
\text{для всех достаточно больших } c
\end{align*}
Доказательство строгой верхней границы:
\begin{itemize}
\item необходимо доказать: $T(n) = O(n^2)$
\item пусть $T(k) \leqslant c k^2$ для $k < n$ (гипотеза)
\end{itemize}
\begin{align*}
T(n) = 4T(n/2) + n \\
\leqslant 4c(n/2)^2 + n \\
= c n^2 + n \\
= O(n^2)
\end{align*}
-- неверно, т.к. необходимо доказать индукционную гипотезу
\begin{align*}
= c n^2 - (-n)\\
\leqslant c n^2
\end{align*}
-- неверно для всех $c > 0$
Необходимо усилить индукционную гипотезу через вычитание члена более низкого
порядка:
\begin{itemize}
\item пусть $T(k) \leqslant c_1 k^2 - c_2 k$ для $k < n$
\end{itemize}
\begin{align*}
T(n) = 4T(n/2) + n \\
= 4(c_1(n/2)^2 - c_2(n/2)) + n \\
= c_1 n^2 - 2c_2 n + n \\
= c_1 n^2 - c_2 n - (c_2 n - n) \\
\leqslant c_1 n^2 - c_2 n \\
\text{если } c_2 \geqslant 1
\end{align*}
Верно для достаточно больших $c_1$. Строгая нижняя граница доказывается по
аналогии.
\section{Метод деревьев рекурсии}
\begin{itemize}
\item изображается дерево, в узлах которого находится время, требуемое для
выполнения данной подзадачи
\item значение времени суммируется в пределах уровня, затем -- по всем
уровням дерева
\item подходит для получения ``догадки'' о виде решения для метода подстановок
\end{itemize}
\subsection{Примеры решения}
\begin{equation*}
T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n^2
\end{equation*}
Для задачи размером $n$ на каждом шаге рекурсивно решается задача размером
$n/4$ и $n/2$. Нерекурсивная часть выполняется за $n^2$ итераций.
После построения дерева (см. рис. \ref{fig:rectree1} - \ref{fig:rectree6})
ответом будет сумма геометрической прогрессии
$n^2(1+5/6 + (5/6)^2 + (5/6)^3 + ...) = \Theta(n^2)$
\section{Основная теорема}
Основная теорема применятся для решения рекуррентных соотношений вида
\begin{equation*}
T(n) = aT(n/b) + f(n)
\end{equation*}
где $a \geqslant 1$, $b > 1$ -- константы, а $f(n)$ -- асимптотически
положительная функция.
Рекуррентное соотношение описывает время работы алгоритма, в котором задача
размером $n$ разбивается на $a$ вспомогательных задач, размером $n/b$ каждая,
где $a$ и $b$ -- положительные константы. Полученные в результате разбиения
подзадачи решаются рекурсивным методом, причем время их решения равно $Т(a/b)$.
Время, требуемое для разбиения задачи и объединения результатов, полученных при
решении вспомогательных задач, описывается функцией $f(n)$.
При использовании основного метода функция $f(n)$ сравнивается с
$n^{\log_b a}$ и рассматриваются три случая. Интуитивно понятно, что
асимптотическое поведение решения рекуррентного соотношения определяется
большей из двух функций.
\begin{enumerate}
\item Если $f(n) = O(n^{\log_{b}{a - \epsilon}})$ , для некоторой константы
$\epsilon > 0$, т.е. $f(n)$ растет полиноминально медленней чем $n^{log_b a}$
в $n^\epsilon$ раз.\\Тогда $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$
\item Если $f(n) = \Theta(n^{\log_b a}\lg^k n)$, т.е. $f(n)$ и $n^{\log_b a}$
растут с одинаковой скоростью с точностью до множителя $\lg^k n$, для
константы $k \geqslant 0$.\\ Тогда $T(n) = \Theta(n^{\log_b a}\lg^{k+1} n)$
\item Если $f(n) = \Omega(n^{\log_{b}{a + \epsilon}})$ , для некоторой
константы $\epsilon > 0$, т.е. $f(n)$ растет полиноминально быстрей чем
$n^{log_b a}$ в $n^\epsilon$ раз \\
\emph{и} $f(n)$ удовлетворяет неравенству $a f(n/b) \leqslant c f(n)$ для
некоторого $c < 1$\\Тогда $T(n) = \Theta(f(n))$
\end{enumerate}
Важно понимать, что этими тремя случаями не исчерпываются все возможности
поведения функции $f(n)$. Между случаями 1 и 2 есть промежуток, в котором
функция $f(n)$ меньше функции $n^{\log_b a}$, но не полиноминально меньше.
Аналогичный промежуток имеется между случаями 2 и 3, когда функция $f(n)$ не
полиноминально больше. Если функция $f(n)$ попадает в один из этих промежутков
или, если для нее не выполняется условие регулярности из случая 3, основной
метод неприменим.
\subsection{Примеры решения}
\begin{equation*}
T(n) = 4T(n/2) + n
\end{equation*}
\begin{equation*}
a = 4, b = 2 \Rightarrow n^{\log_b a} = n^2; f(n) = n
\end{equation*}
Случай 1: $f(n) = O(n^{2 - \epsilon})$ для $\epsilon = 1$
Ответ: $T(n) = \Theta(n^2)$
\begin{equation*}
T(n) = 4T(n/2) + n^2
\end{equation*}
\begin{equation*}
a = 4, b = 2 \Rightarrow n^{\log_b a} = n^2; f(n) = n^2
\end{equation*}
Случай 2: $f(n) = \Theta(n^2 \lg^0 n)$
Ответ: $T(n) = \Theta(n^2 \lg n)$
\begin{equation*}
T(n) = 4T(n/2) + n^3
\end{equation*}
\begin{equation*}
a = 4, b = 2 \Rightarrow n^{\log_b a} = n^2; f(n) = n^3
\end{equation*}
Случай 3: $f(n) = \Omega(n^{2 + \epsilon})$, для $\epsilon = 1$ и
$4(n/2)^3 \leqslant c n^3$ для $c = 1/2$
Ответ: $T(n) = \Theta(n^3)$
\begin{equation*}
T(n) = 4T(n/2) + \frac{n^2}{\lg n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
a = 4, b = 2 \Rightarrow n^{\log_b a} = n^2; f(n) = \frac{n^2}{\lg n}
\end{equation*}
Основной метод неприменим, т.к. для любой константы $\epsilon > 0$ справедливо
$n^{\epsilon} = \omega({\lg n})$
\pagebreak
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=2in]{lecture2/tree1.eps}
\caption{Дерево рекурсии -- шаг 1}
\label{fig:rectree1}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=3in]{lecture2/tree2.eps}
\caption{Дерево рекурсии -- шаг 2}
\label{fig:rectree2}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=3in]{lecture2/tree3.eps}
\caption{Дерево рекурсии -- шаг 3}
\label{fig:rectree3}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=3in]{lecture2/tree4.eps}
\caption{Дерево рекурсии -- шаг 4}
\label{fig:rectree4}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=3in]{lecture2/tree5.eps}
\caption{Дерево рекурсии -- шаг 5}
\label{fig:rectree5}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=3in]{lecture2/tree6.eps}
\caption{Дерево рекурсии -- шаг 6}
\label{fig:rectree6}
\end{figure}
\end{document}