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\section{Wellen}
\subsection{Wellengleichungen allgemein}
\subsubsection{Zeitbereich}
auch d'Alembertsche Gleichungen genannt:
\begin{align*}
\Delta \vec{E} -\kappa \mu \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}-\varepsilon \mu \cdot \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial^2 t} & = \operatorname{grad} \frac{\rho}{\varepsilon} \\
\Delta \vec{H} -\kappa \mu \cdot \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}-\varepsilon \mu \cdot \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial^2 t} & = 0
\end{align*}
\subsubsection{Frequenzbereich}
auch Helmholtz-Gleichungen genannt:
mit harmonischer Zeitabhängigkeit:
$ \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \mathrm{j}\omega $
\begin{align*}
\Delta \underline{\vec{E}}-\left(\kappa \mu \cdot \mathrm{j} \omega-\varepsilon \mu \cdot \omega^{2}\right) \cdot \underline{\vec{E}} & = \operatorname{grad} \frac{\rho}{\varepsilon} \\
\Delta \underline{\vec{H}}-\left(\kappa \mu \cdot \mathrm{j} \omega-\varepsilon \mu \cdot \omega^{2}\right) \cdot \underline{\vec{H}} & = 0
\end{align*}
\subsubsection{Vereinfachung der Gleichungen}
Bei quellfreiem, idealem Dielektrikum: $ \rho = \kappa = \vec{J} = 0$
\begin{align*}
\Delta \vec{E}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} & =0 &
\Delta \vec{H}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial t^{2}} & =0 & \\
\Delta \underline{\vec{E}}+\varepsilon \mu \omega^{2} \cdot \underline{\vec{E}} & =0 &
\Delta \underline{\vec{H}}+\varepsilon \mu \omega^{2} \cdot \underline{\vec{H}} & =0 &
\end{align*}
Im elektrisch guten Leiter $\rho = 0,\, \kappa \gg \omega \epsilon$
\begin{align*}
\Delta \vec{E}-\kappa \mu \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & =0 &
\Delta \vec{H}-\kappa \mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} & =0 & \\
\Delta \underline{\vec{E}}-\kappa \mu \cdot j \omega \cdot \underline{\vec{E}} & =0 &
\Delta \underline{\vec{H}}-\kappa \mu \cdot j \omega \cdot \underline{\vec{H}} & =0 &
\end{align*}
\subsection{Ebene Wellen}
Vereinfachung: harmonische Zeitabhängigkeit, keine Raumladungen $ \rho = 0 $,
keine Feldstärkekomponenten in Ausbreitungsrichtung
$ \frac{\partial^2 }{\partial^2 x} = \frac{\partial^2 }{\partial^2 y} = 0 $
\begin{align*}
\Delta \vec{E} & = \frac{ \partial \vec{E}}{ \partial z^2} = j \omega \mu ( \kappa + j \omega \varepsilon) \vec{E} \\
\Delta \vec{H} & = \frac{ \partial \vec{H}}{ \partial z^2} = j \omega \mu ( \kappa + j \omega \varepsilon) \vec{H}
\end{align*}
\textbf{TEM}-Welle: $\vec{E}$ und $ \vec{H} $ besitzen nur transversale (=
\textit{senkrecht zur Ausbreitungsrichtung} stehende) Komponenten.
\subsubsection{Gleichung Ebene Welle}
Tatsächlicher Zeitverlauf (\textbf{Realteil} von $\underline{\vec{E}}(z,t)$)
\begin{empheq}[]{align*}
\boxed{\vec{E}(z,t)
= \underbrace{E_0}_{\mathclap{\text{Amplitude}}}
\cdot \overbrace{e^{-\alpha z}}^{\mathclap{\text{Dämpfung}}}
\cdot \underbrace{cos(\omega t \overbrace{-}^{\mathclap{\text{positive z-Richtung}}} \beta z)}_\text{Zeit- und Raumabhängigkeit}
\cdot\vec{e}_z}
\end{empheq}
\subsubsection{komplexer Amplitudendrehzeiger}
\textcolor{red}{Achtung:} der komplexe Amplituden\textbf{vektor} ist ohne
$e^{-j\omega t}$!
\begin{empheq}[]{align*}
\boxed{\underline{\vec{E}}(z,t)
= E_0\cdot e^{-\alpha z}\cdot e^{j(\omega t-\beta z)}\cdot\vec{e}_z
= E_0\cdot e^{-\underline{\gamma}z}\cdot e^{j\omega t}\cdot\vec{e}_z
}
\end{empheq}
\subsubsection{Fortpflanzungskonstante}
Dämpfungskonstante $ [\alpha] $= $\frac{\mathtt{Np}}{m}$ \qquad \quad
Phasenkonstante $ [\beta] $= $ \frac{\mathtt{rad}}{m} $
\[\underline{\gamma}=\alpha+j\beta = j\underline{k} = \sqrt{j\omega \mu (\kappa + \si{j}\omega \varepsilon)} \quad \left[ \frac{1}{m} \right] \]
\subsection{Kenngrößen}
\subsubsection{Wellenzahl}
Im Vakuum: $k_{0}=\dfrac{\omega}{c_{0}}$ \quad $ \underline{k}=\beta - \si{j}\alpha $
\begin{align*}
\beta \, \widehat{=} \, k & = \frac{\omega}{v_p} = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \pi f}{v_p} = |\vec{k}| \quad \left[ \frac{\texttt{rad}}{\texttt{m}}\right] \\
& = \frac{\omega \cdot n}{c_{0}} = n \cdot k_{0}=\sqrt{\mu_{r} \cdot \varepsilon_{r}} \cdot k_{0} = k_{r} \cdot k_{0}
\end{align*}
\subsubsection{Wellenlänge}
Periodenlänge entlang der Ausbreitungsrichtung.\\
Freiraumwellenlänge: im materiefreien Raum $ \lambda_0 $. \qquad $[\lambda] = \texttt{m}$
\begin{align*}
\lambda_0 & = \dfrac{c_0}{f} = \dfrac{2\pi}{k_0} \\
\lambda & = \dfrac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_r \cdot \varepsilon_r}} = \dfrac{2 \pi}{k} = \dfrac{v_p}{f} = \dfrac{\lambda_0}{n} = \dfrac{2 \pi}{n \cdot k_0}
\end{align*}
\subsubsection{Phasengeschwindigkeit}
\[
v_p = \dfrac{d z}{d t} = \dfrac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{ \mu_r \mu_0 \varepsilon_r \varepsilon_0} } = \frac{c_0}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} \qquad v_{p,\texttt{Medium} \leq c_0}
\]
\subsubsection{Brechzahl/Brechungsindex}
\[
n = \frac{c_0}{v_p} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r} \geq 1
\]
\subsubsection{Gruppengeschwindigkeit}
\[
v_g = \dfrac{d \omega}{d k} \widehat{=} \dfrac{\textnormal{Wegstück der Wellengruppe}}{\textnormal{Laufzeit der Wellengruppe}}
\]
\\
2 Wellen mit geringem Unterschied $ \Delta \omega $ und $ \beta =\omega \sqrt{\mu \varepsilon} $:
\begin{align*}
E_1(z,t) & = E\cos((\omega_0-\Delta\omega)t-(\beta_0-\Delta\beta)z) \\
E_2(z,t) & = E\cos((\omega_0+\Delta\omega)t-(\beta_0+\Delta\beta)z) \\
\Rightarrow E(z,t) & = 2E\cdot\underbrace{\cos(\omega_0t-\beta_0z)}_{\mathclap{\text{Grundfrequenz $\omega$}}}\cdot\underbrace{\cos(\Delta\omega t-\Delta\beta z)}_{\mathclap{\text{Einhüllende $\Delta\omega$}}} \\
v_p & = \frac{\omega_0}{\beta_0} \qquad
v_g = \frac{\Delta\omega}{\Delta\beta} \qquad \texttt{Grenzwert:} \quad v_g = \frac{1}{d\beta/d\omega}
\end{align*}
\subsubsection{Zusammenhang Gruppen- und Phasengeschwindigkeit}
$\quad v_{p h}=\frac{\omega}{k} \Rightarrow k=\frac{\omega}{v_{p h}}$
$$
v_g\left(\omega, v_{p h}\right)=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left[\frac{\omega}{v_{p h}}\right]}=\frac{1}{\frac{v_{p h}-\omega \frac{\mathrm{d} v_{p h}}{\mathrm{~d} \omega}}{v_{p h}^2}}=\frac{v_{p h}}{1-\frac{\omega}{v_{p h}} \frac{\mathrm{d} v_{p h}}{\mathrm{~d} \omega}}
$$
mit $\quad v_{p h}=\frac{\omega}{k} \Rightarrow \omega=k v_{p h}$
$$
v_g\left(k, v_{p h}\right)=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k}\left[k v_{p h}\right]=v_{p h}+k \frac{\mathrm{d} v_{p h}}{\mathrm{~d} k}
$$
\subsubsection{Feldwellenwiderstand}
$ Z_{F0} $: im \textbf{materiefreien} Raum/Vakuum!\\
Falls keine Verluste (ideal) $ \rightarrow Z_F $ reell!
\begin{align*}
\underline{Z}_F & = \frac{\underline{E}_{\texttt{transversal}}}{\underline{H}_{\texttt{transversal}}} = \frac{\underline{E}_h}{\underline{H}_h} = -\frac{\underline{E}_r}{\underline{H}_r} = \frac{\omega \mu}{\underline{k}} = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\kappa+j \omega \varepsilon}} \\
Z_{F0} & = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 120\pi \Omega \qquad Z_F = Z_{F0} \cdot \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} &
\end{align*}
\subsubsection{Poynting-Vektor}
gibt Leistungsfluss einer EM-Welle und Richtung der Energieströmung an.\\
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Zeitbereich & Frequenzbereich \\
\hline
$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$ & $\vec{\underline{S}} = \frac{1}{2} (\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{H}}^*)$ \\
$\vec{S}_{av} = \overline{\vec{S}(t)} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \vec{S}(t) \,dt $ & $\vec{S}_{av} = \frac{1}{2} \Re{\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{H}}^*}$ \\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Leistungsflussdichte, Intensität $\quad S_{av} = |\vec{S}_{av}|$} \\
\hline
\end{tabular}
\begin{align*}
S_{av} & = \frac{1}{2} \cdot E \cdot H
= \frac{1}{2} \cdot \dfrac{E^2}{Z_{F0}}
= \frac{1}{2} \cdot H^2 \cdot Z_{F0}
= \frac{P}{A_\texttt{Fläche}} \\
P & = \iint\vec{S}_{\text{av}}\, d\vec{a}
= Re\left\{\underline{U}\cdot\underline{I}^*\right\} \\
P_1 & = P_0 \cdot e^{-2\alpha z} \qquad P_{\texttt{Leitung}} = \dfrac{1}{2} \dfrac{\hat{U}^2}{\cdot \Re{Z_L}}
\end{align*}
\subsection{Ausbreitung im Medium}
$ \kappa, \sigma $ = Leitfähigkeit
\subsubsection{Allgemein (mit Verlusten)}
\begin{align*}
\lambda & = \dfrac{2\pi}{\beta} \qquad E_2 = E_1 e^{-\alpha z} \qquad
v_p = \lambda\cdot f = \dfrac{\omega}{\beta} \\
\alpha & = \omega \cdot \sqrt{\dfrac{\mu \varepsilon}{2}\cdot \left(\sqrt{1+\dfrac{\kappa^2}{\omega^2\cdot\varepsilon^2}}{\color{red}{-}}1\right)} \\
\beta & = \omega \cdot \sqrt{\dfrac{\mu \varepsilon}{2}\cdot \left(\sqrt{1+\dfrac{\kappa^2}{\omega^2\cdot\varepsilon^2}}{\color{green}{+}}1\right)} \\
\Aboxed{\underline{Z}_F & = \dfrac{\underline{E}}{\underline{H}} = \sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\kappa+j\omega\varepsilon}}}\quad\text{komplex, wenn } \alpha \neq 0
\end{align*}
\subsubsection{Im leeren Raum (Vakuum)}
materiefreier Raum: $ \mu_r = \varepsilon_r = 1 $
\begin{align*}
\alpha & = 0 &
\beta & = \dfrac{\omega}{c_0} \qquad
\lambda_0 = \dfrac{c_0}{f} \\
v_p & = c_0 &
Z_{F0} & = \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 120 \pi\Omega\approx377\Omega &
\end{align*}
\subsubsection{Im verlustlosen Dielektrikum}
verlustlos: $\kappa =0$, maximale Wirkleistung\\
$Z_F$ rein reell $\rightarrow$ ebene Welle
\begin{align*}
\alpha & = 0 &
\beta & = \dfrac{\omega}{c_0}\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\dfrac{2\pi}{\lambda} \\
\lambda & = \dfrac{c_0}{f}\dfrac{1}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} &
v_p & = \dfrac{c_0}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} \qquad
\boxed{Z_F = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=Z_{F0}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}}
\end{align*}
\subsubsection{Im Dielektrikum mit geringen Verlusten}
geringer Verlust: $0 < \kappa \ll\omega\varepsilon$
\begin{align*}
\alpha & \approx\dfrac{\kappa}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} = \frac{\kappa}{2}\cdot Z_{F0}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} \quad
\beta \approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\left(1+\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{\kappa^2}{\omega^2\varepsilon^2}\right) \\
\lambda & = \dfrac{c_0}{f}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{8}\left(\frac{\kappa}{\omega\varepsilon}\right)^2} \\
v_p & = \dfrac{c_0}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{8}\left(\frac{\kappa}{\omega\varepsilon}\right)^2} \\
\Aboxed{\underline{Z}_F & = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}\left(1-\frac{j\kappa}{\omega\varepsilon}\right)^{-^1/2} \approx Z_{F0}\left(1+\frac{j\kappa}{2\omega\varepsilon}\right)}
\end{align*}
\subsubsection{Im guten Leiter}\label{sec:Ausbreitug_guter_Leiter}
geringer Verlust: $\kappa \gg\omega\varepsilon$ \quad $\mu = \mu_0 \cdot \mu_r$
\begin{align*}
\alpha & \approx \beta \approx\sqrt{\frac{\omega\mu\kappa}{2}}=\dfrac{1}{\delta}\sim\sqrt{f} \qquad
\lambda = 2\pi \sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\kappa}}=2\pi\delta \\
v_p & = \frac{2\pi}{\beta} = \omega\delta \qquad
\boxed{\underline{Z}_F = \sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\kappa}} \approx \dfrac{1+j}{\kappa\cdot\delta} = \sqrt{\frac{\omega \mu}{\kappa}}e^{\mathrm{j}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\frac{\omega \mu}{2 \kappa}}(1+j) }
\end{align*}
\textbf{Feldstärken} im Leiter: \qquad Winkel $\varphi = - \dfrac{z}{\delta}$ in \textbf{DEGREE}\\
$E_0, H_0$: Beträge/Amplituden!
\begin{align*}
H_0 & = \sqrt{\frac{\kappa}{\omega \mu}}\cdot E_0 \\
E(z,t) & = E_0 \cdot e^{- z/_\delta}\cdot cos(\omega t-\frac{z}{\delta}) \\
H(z,t) & = H_0 \cdot e^{- z/_\delta}\cdot cos(\omega t- \frac{z}{\delta}-\frac{\pi}{4})
\end{align*}
siehe Analogie in Kapitel \ref{sec:skineffekt} (Skineffekt).
\subsection{Ebene Wellen an Grenzflächen}
\subsubsection{Zwischen Dielektrika mit geringem Verlust}
\input{Figures/Wellen_Uebergang_mit_geringem_Verlust.tex}
\begin{align*}
\quad \qquad \lambda_1 & = \dfrac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_{r1}\varepsilon_{r1}}} & \lambda_2 & = \dfrac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_{r2}\varepsilon_{r2}}} \\
\quad \qquad & & & = \dfrac{\lambda_1\cdot\sqrt{\mu_{r1}\varepsilon_{r1}}}{\sqrt{\mu_{r2}\varepsilon_{r2}}} \\
\quad \qquad \beta_1 & = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}\cdot\sqrt{\mu_{r1}\varepsilon_{r1}} & \beta_2 & = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}\cdot\sqrt{\mu_{r2}\varepsilon_{r2}}
\end{align*}
\subsubsection{Brechungsgesetz allgemein}
\begin{align*}
\dfrac{\sin \vartheta_{2}}{\sin \vartheta_{1}} = \dfrac{k_{h}}{k_{g}} & = \sqrt{\dfrac{\mu_{r 1} \varepsilon_{r 1}}{\mu_{r 2} \varepsilon_{r 2}}} = \dfrac{n_{1}}{n_{2}} = \dfrac{v_{p, 2}}{v_{p, 1}} = \dfrac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} \\
\end{align*}
\subsection[Senkrechter Einfall]{Senkrechter Einfall}
Gilt bei Einfallswinkel $ \theta_h = 0 $.
\input{Figures/Wellen_Senkrechter_Uebergang.tex}
\begin{equation*}
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{aligned}[t]
r_e & = \frac{Z_{F2}-Z_{F1}}{Z_{F2} + Z_{F1}} \\
r_m & = \frac{Z_{F1}-Z_{F2}}{Z_{F2} + Z_{F1}}
=-r_e \\
\end{aligned}
\qquad \qquad
\begin{aligned}[t]
t_e & = \frac{2 \cdot Z_{F2}}{Z_{F1} + Z_{F2}} \\
t_m & = \frac{2 \cdot Z_{F1}}{Z_{F1} + Z_{F2}}
= t_e \cdot \frac{Z_{F1}}{Z_{F2}} \\
\end{aligned}
\end{equation*}
\vspace{0.2cm}
\begin{equation*}
\setlength{\jot}{6pt}
\begin{aligned}[t]
t_e & = 1+ r_e \\
E_{t1} & =E_{t2} \\
E_t & = t_e \cdot E_h \\
E_r & = r_e \cdot E_h \\
E_t & = E_h + E_r \\
t_e\cdot E_{h} & = E_{h} + r_e\cdot E_{h} \\
E_t & = E_h \cdot \frac{2 \cdot Z_{F2}}{Z_{F2} + Z_{F1}} \\
E_r & = E_h \cdot \frac{Z_{F2}-Z_{F1}}{Z_{F2}+Z_{F1}}
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}[t]
t_m & = 1+ r_m \\
H_{t1} & = H_{t2} \\
H_t & = t_m \cdot H_h = t_e \cdot \tfrac{Z_{F1}}{Z_{F2}} \cdot H_h \\
H_r & = r_m \cdot H_h \\
H_t & = H_h + H_r \\
t_m\cdot H_{h} & = H_{h} + r_m\cdot H_{h} \\
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{align*}
H_t & = H_h + H_r \\
\frac{t\cdot E_{h}}{Z_{F2}} & = \frac{E_{h}}{Z_{F1}} - \frac{r\cdot E_{h}}{Z_{F1}} \\
\frac{t}{Z_{F2}} & = \frac{1}{Z_{F1}} - \frac{r}{Z_{F1}}
\end{align*}
\subsubsection[Senkrechter Einfall ideales/verlustl. Dielekt.]{Verlustloses Dielektikum allgemein}
gilt für $ \kappa =0 $, keine Dämpfung.
\[ \text{rein reell: }Z_F= \sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} \qquad
\text{rein imaginär: }\gamma = j \omega\sqrt{\mu\varepsilon} \]
\begin{align*}
r & = r_e =\frac{Z_{F2} - Z_{F1}}{Z_{F1} + Z_{F2}} = \frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}\mu_{r2}} - \sqrt{\varepsilon_{r2}\mu_{r1}} }{\sqrt{\varepsilon_{r1}\mu_{r2}}+{\sqrt{\varepsilon_{r2}\mu_{r1}}}} \\
t & = t_e = \frac{2 Z_{F2}}{Z_{F1} + Z_{F2}} = \frac{2\sqrt{\varepsilon_{r1}\mu_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}\mu_{r2}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}\mu_{r1}}}
\end{align*}
\subsubsection{Medium 1 oder 2: Luft}
\begin{equation*}
\setlength{\jot}{6pt}
\begin{aligned}[t]
\Aboxed{ & \mu_{r1} = \varepsilon_{r1} = 1} \\
r & = \frac{\sqrt{\mu_{r2}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{{\sqrt{\mu_{r2}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}} \\
t & = \frac{2\sqrt{\mu_{r2}}}{\sqrt{\mu_{r2}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}[t]
\Aboxed{ & \mu_{r2} = \varepsilon_{r2} = 1} \\
r & = \frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\mu_{r1}}}{{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\mu_{r1}}}} \\
t & = \frac{2\sqrt{\varepsilon_{r1}}}{\sqrt{\mu_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r1}}}
\end{aligned}
\end{equation*}
\subsubsection{beide Medien: nicht magnetisch}
Gilt für $\mu_{r1} = \mu_{r2} = 1$
\begin{align*}
r & = \frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}} &
t & = \frac{2}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}}} &
\end{align*}
\subsubsection{Medium 2: idealer Leiter}
Für Leiter mit (geringen) Verlusten siehe Kapitel \ref{sec:Ausbreitug_guter_Leiter}.\\
$\vec{E}=0$ im idealen Leiter $\rightarrow$ \textbf{Stehende} Welle!, vollständige Reflexion.
\begin{equation*}
Z_{F2} = 0 \qquad
r = -1 \qquad
t = 0 \qquad
\vec{S}_{\text{av}} = 0
\end{equation*}
$E$ und $H$: zeitlich sowie örtlich zueinander um \ang{90} phasenverschoben.
\begin{flalign*}
& \underline{E}_{1x} = -2j\cdot E_{h1}\cdot \sin(\beta_1 z)\qquad
\underline{H}_{1y} = 2\cdot \tfrac{E_{h1}}{Z_{F1}}\cdot \cos(\beta_1 z) \\
& E_{1x} (z,t)=2E_{h1} \cdot \sin(\beta_1z)\cdot \sin(\omega t) \\
& H_{1y}(z,t) = 2 \tfrac{E_{h1}}{Z_{F1}}\cdot \cos(\beta_1z)\cdot \cos(\omega t)
\end{flalign*}
Annahme: Grenzfläche bei $z=0$.
\begin{align*}
\Aboxed{ & \text{$H_{\text{max}}$, $E_{\text{min}}$ bei } z = - n \cdot \lambda/_2} & \\
\Aboxed{ & \text{$H_{min}$, $E_{max}$ bei } z=- (2n-1) \cdot \lambda/_4} &
\end{align*}
\subsubsection{Stehwellenverhältnis (SWR)}
siehe auch Kapitel \ref{sec:VSWR}.
\[
\mathrm{SWR} = \frac{E_{\max}}{E_{\min}}=\frac{H_{\max}}{H_{\min}}=\frac{E_{h}+E_{r}}{E_{h}-E_{r}} = \frac{1+|r|}{1-|r|} \quad 1<s<\infty
\]
\subsection{Schräger Einfall (allgemein)}
\begin{align*}
Z_F & = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = Z_{F0} \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}
\end{align*}
\subsubsection{Brechungsgesetz}
\begin{align*}
\dfrac{\sin \vartheta_{2}}{\sin \vartheta_{1}} = \dfrac{k_{h}}{k_{t}} & = \sqrt{\dfrac{\mu_{r 1} \varepsilon_{r 1}}{\mu_{r 2} \varepsilon_{r 2}}} = \dfrac{n_{1}}{n_{2}} = \dfrac{v_{p, 2}}{v_{p, 1}} = \dfrac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}
\end{align*}
\subsubsection{Leistungsbilianz an Grenzflächen}
Index n: Normalkomponente. \quad Index 0: Amplitude/Betrag\\
Index h: hinlaufende Welle \quad Index r: rücklaufende Welle\\
Index t: transmittierte Welle\\
$r_e$: Reflexionsfaktor
\begin{align*}
S_{tn} & = S_{hn} - S_{rn} \\
S_{t0} & = S_{h0}\cdot \frac{\cos\vartheta_{1}}{\cos\vartheta_{2}}(1-r_e^2)
\end{align*}
\subsubsection{Totalrefexion/Grenzwinkel}
Grenzwinkel $ \theta_g $ gibt an, bis zu welchem Winkel eine Welle von höherem in kleineres Dielektrikum $ \varepsilon_1 > \varepsilon_2 $ eindringen kann. $ \rightarrow $ Brechungsgesetz beachten!
\begin{align*}
\Aboxed{(1) \, \theta_g & = \arcsin \sqrt{\frac{\mu_{r2}\varepsilon_{r2}}{\mu_{r1}\varepsilon_{r1}}} } &
\Aboxed{(2) \, \theta_g & = \arcsin \sqrt{ \dfrac{\mu_{r1} \varepsilon_{r1}}{\mu_{r2} \varepsilon_{r2}}}} &
\end{align*}
(1): bei \textit{senkrechter} transmittierter Welle $ \theta_t = \sin \ang{90}$ (Sattler)\\
(2): bei \textit{senkrechter} einfallender Welle $ \theta_h = \sin \ang{90}$ (Stücke)
Anmerkung zu (2):\\
\includegraphics[width=\columnwidth]{Figures/Grenzwinkel_Bild.png}
\subsubsection[Brewster-/Polarisationswinkel]{Brewster-/Polarisationswinkel}
Brewster-Winkel $ \theta_b $ $\rightarrow$ KEINE Reflexion $r=0$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Parallele} Polarisation: \quad rechts:
$ \mu_{r1}=\mu_{r2} $
\begin{align*}
\sin\theta_b & = \sqrt{\frac{\varepsilon_2(\mu_2\varepsilon_1 - \mu_1\varepsilon_2)}{\mu_1(\varepsilon_1^2-\varepsilon_2^2)}} &
\Aboxed{\tan\theta_b & = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} = \frac{n_2}{n_1}} &
\end{align*}
Brewster-Winkel existiert nur, wenn $ \varepsilon_{r1} \neq \varepsilon_{r2} $.
\item \textbf{Senkrechte} Polarisation: \quad rechts: $ \varepsilon_{r1} = \varepsilon_{r2} $
\begin{align*}
\sin\theta_b & = \sqrt{\frac{\mu_2(\mu_2\varepsilon_1 - \mu_1\varepsilon_2)}{\varepsilon_1(\mu_2^2-\mu_1^2)}} &
\tan\theta_b & = \sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}} &
\end{align*}
Brewster-Winkel existiert nur, wenn $ \mu_{r1} \neq \mu_{r2} $.\\
Bei $ \mu_{r1}=\mu_{r2} \rightarrow r \neq 0$ \qquad kein Brewster-Winkel $\theta_b \rightarrow \infty$!
\end{itemize}
\subsubsection{Verlauf von r und t beim Grenzübergang}
\includegraphics[width=\columnwidth]{Figures/Totalreflexion_Diagramm.png}
\subsubsection{Verlauf der Reflexionsfaktoren}
\includegraphics[width=\columnwidth]{Figures/Verlauf_Reflexionsfaktoren.png}
\newpage
\input{Schraeger_Uebergang}
\input{Schraeger_Ubergang_allgemein}