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\section{Maxwell-Gleichungen}
\includegraphics[width=0.7\columnwidth]{Figures/Integralsatz.png}
\textbf{Amperesches- /Durchflutungsgesetz:}
\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\hsize=.5\hsize}X>{\hsize=.5\hsize}X}
Elek. Strom ist Ursache für ein magn. Wirbelfeld. & $\boxed{\oint_s \vec{H} \cdot d \vec{s} = \Theta = I = \iint_A \vec{J} \cdot d \vec{A} = \frac{d\Phi_e}{dt}}$ \\
\end{tabularx}
\textbf{Induktionsgesetz:}
\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\hsize=.5\hsize}X>{\hsize=.5\hsize}X}
Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elek. Wirbelfeld. & $\boxed{\oint_s{\vec{E} \cdot d\vec{s}} = u_{ind} = -\frac{d}{dt}\iint_A{\vec{B} \cdot d\vec{A}} = -\frac{d\Phi_m}{dt}}$ \\
& $\boxed{rot{\vec{E}} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = -\mu\cdot\frac{\partial\vec{H}}{\partial t} = -j\omega\mu\vec{H}}$
\end{tabularx}
\textbf{Differentielles ohmsches Gesetz:}
\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\hsize=.5\hsize}X>{\hsize=.5\hsize}X}
Bewegte elektrische Ladung erzeugt Magnetfeld & $\boxed{ rot \vec{H} = \vec{J} = \kappa \cdot \vec{E}} $
\end{tabularx}
Bei isotropen Stoffen sind $\varepsilon$ u. $\mu$ Skalare:
\[
\varepsilon = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \qquad \mu = \mu_0 \cdot \mu_r
\]
Zeitbereich: $ \dfrac{\partial}{\partial t} $ \qquad \qquad
Harmonischer Frequenzbereich (komplexe Berechnung): $ jw $
\subsection{Feldstärkekomponenten einer ebenen Welle}
Bei Ausbreitung in $z$-Richtung gibt es keine Amplitudenabhängigkeit von $x, y$
d.h. $\frac{\partial \ldots}{\partial x}=\frac{\partial \ldots}{\partial y}=0$
damit ergibt sich aus den Maxwell'schen Gleichungen:
{\footnotesize
$$
\begin{gathered}
\boxed{\operatorname{rot} \underline{\vec{E}}=-\mathrm{j} \omega \mu \underline{\vec{H}}} \qquad \boxed{\operatorname{rot} \underline{\vec{H}}=\mathrm{j} \omega \varepsilon \underline{\vec{E}}} \\
\operatorname{rot} \underline{\vec{E}}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\underline{E}_x & \underline{E}_y & \underline{E}_z
\end{array}\right|=\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial \underline{E}_z}{\partial y}-\frac{\partial \underline{E}_y}{\partial z} \\
\frac{\partial \underline{E}_x}{\partial z}-\frac{\partial \underline{E}_z}{\partial x} \\
\frac{\partial \underline{E}_y}{\partial x}-\frac{\partial \underline{E}_x}{\partial y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0-\frac{\partial \underline{E}_y}{\partial z} \\
\frac{\partial \underline{E}_x}{\partial z}-0 \\
0-0
\end{array}\right)=-\mathrm{j} \omega \mu\left(\begin{array}{l}
\underline{H}_x \\
\underline{H}_y \\
\underline{H}_z
\end{array}\right) \\
\operatorname{rot} \underline{\vec{H}}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\underline{H}_x & \underline{H}_y & \underline{H}_z
\end{array}\right|=\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial \underline{H_z}}{\partial y}-\frac{\partial \underline{H}_y}{\partial z} \\
\frac{\partial \underline{H}_x}{\partial z}-\frac{\partial \underline{H}_z}{\partial x} \\
\frac{\partial \underline{H}_y}{\partial x}-\frac{\partial \underline{H}_x}{\partial y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0-\frac{\partial \underline{H}_y}{\partial z} \\
\frac{\partial \underline{H}_x}{\partial z}-0 \\
0-0
\end{array}\right)=\mathrm{j} \omega \varepsilon\left(\begin{array}{l}
\underline{E}_x \\
\underline{E}_y \\
\underline{E}_z
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$
}
\subsection{Integralsätze}
\begin{description}
\setlength{\itemsep}{1pt}
\item Fundamentalsatz der Analysis
\item Gauß: Vektorfeld das aus Oberfläche von Volumen strömt muss aus Quelle in Volumen
\item Stokes: innere Wirbel kompensieren sich $\rightarrow$ nur den Rand betrachten.
\end{description}
\begin{align*}
\int_{a}^b \opgrad F \cdot d \vec{s} & = F(b) - F(a) \\
\iiint_V \opdiv \vec{A} \cdot dV & = \oiint_{ \partial V} \vec{A} \cdot d \vec{a} \\
\iint_{A} \oprot \vec{A} \cdot d \vec{a} & = \oint_{ \partial A} \vec{A} \cdot d \vec{r}
\end{align*}