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\section{Grundlagen}
\subsection{Einheiten}
weitere Einheiten siehe Kapitel \ref{sec:Einheiten}.
\begin{table}[H]
\renewcommand{\arraystretch}{2.15}
\begin{tabularx}{0.9\columnwidth}{lXl}
Größe & Symbol & Einheit \\
\hline
Permiabilitätskonstante & $\mu_0$ & $\dfrac{\texttt{Vs}}{\texttt{Am}}$ \\
\hline
Dilelektrizitätskonstante & $\varepsilon_0$ & $\dfrac{\texttt{As}}{\texttt{Vm}}$ \\
\hline
elek. Ladung/Fluss & $ Q, q $ & $ C=As $ \\
\hline
elek. Feldstärke & $ \vec{E} $ & $\dfrac{\texttt{V}}{\texttt{m}}$ \\
\hline
elek. Flussdichte & $ \vec{D} $ & $\dfrac{\texttt{As}}{\texttt{m}^2}=\dfrac{\texttt{C}}{\texttt{m}^2}$ \\
\hline
Kapazität & $C$ & $F= \dfrac{\texttt{As}}{\texttt{V}}$ \\
\hline
mag. Fluss & $\phi, \Phi$ & $Wb = Vs$ \\
\hline
mag. Feldstärke & $\vec{H}$ & $\dfrac{A}{m}$ \\
\hline
mag. Flussdichte & $\vec{B}$ & $T = \dfrac{\texttt{Vs}}{\texttt{m}^2}$ \\
\hline
Induktivität & $L$ & $H = \dfrac{\texttt{Vs}}{\texttt{A}}$ \\
\hline
Strahlungsdichte & $S_{av}, I$ & $\dfrac{\texttt{W}}{\texttt{m}^2}$ \\
\end{tabularx}
\end{table}
\subsection{Vektorrechnung}
\subsubsection{Betrag, Richtungswinkel, Normierung}
\textbf{Betrag}
\begin{align*}
\vert \vec{r} \vert & = r = \sqrt{r^2_x + r^2_y + r^2_z}
\end{align*}
\textbf{Richtungswinkel}
\begin{align*}
\cos(\alpha) = \dfrac{a_x}{\vert \vec{a} \vert} \qquad \cos(\beta) = \dfrac{a_y}{\vert \vec{a} \vert} \qquad
\cos(\gamma) = \dfrac{a_z}{\vert \vec{a} \vert}
\end{align*}
\textbf{Normierung, Einheitsvektor}
\begin{align*}
\vec{e}_a = \dfrac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}, \quad \vert \vec{e}_a \vert = 1
\end{align*}
\subsubsection{Skalarprodukt}
\begin{align*}
\vec{a} \cdot \vec{b} & = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\varphi) \qquad \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\
cos(\varphi) & = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
\end{align*}
\subsubsection{Kreuzprodukt}
\begingroup
\renewcommand*{\arraystretch}{.95}
\begin{align*}
A_{Para} & = \vert \vec{c} \vert = \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert = \vert \vec{a} \vert \cdot \vert \vec{b} \vert \cdot \sin(\varphi) \\
\vec{a}\times\vec{b} & =
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
\end{align*}
\endgroup
Trick: Regel von Sarrus anwenden!
\subsection{Differentialoperatoren}
\textbf{Nabla-Operator}
\begin{align*}
\nabla & = \vec{\nabla} =
\begin{psmallmatrix}
\partial / \partial x \\
\partial / \partial y \\
\partial / \partial z
\end{psmallmatrix}
\end{align*}
\textbf{Laplace-Operator}
\begin{align*}
\varDelta & = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \textrm{div (grad)} =
\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial z^2}
\end{align*}
\textbf{Divergenz} $\opdiv$: Vektorfeld $\rightarrow$ Skalar \qquad S.382\\
\small{Quelldichte, gibt für jeden Punkt im Raum an, ob Feldlinien entstehen oder verschwinden.}
\begin{align*}
\boxed{\opdiv \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F}} = \dfrac{\partial F_x}{\partial x}
+ \dfrac{\partial F_y}{\partial y} + \dfrac{\partial F_z}{\partial z} \\
\begin{cases}
> 0 \quad\Rightarrow \textnormal{Quelle} \\
< 0 \quad\Rightarrow \textnormal{Senke} \\
= 0 \quad\Rightarrow \textnormal{quellenfrei}
\end{cases}
\end{align*}
\textbf{Rotation} $\oprot$: Vektorfeld $\rightarrow$ Vektorfeld \qquad S.382\\
\small{Wirbeldichte, gibt für jeden Punkt im Raum Betrag und Richtung der Rotationsgeschwindigkeit an.}
\begin{align*}
\boxed{\oprot \vec{F} = \nabla \times \vec{F} } =
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial F_z}{\partial y} - \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \\
\dfrac{\partial F_x}{\partial z} - \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \\
\dfrac{\partial F_y}{\partial x} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\
\vec{F}_x & \vec{F}_y & \vec{F}_z
\end{vmatrix}
\end{align*}\\
Vektorfeld skalar annotiert: $\vec{F} = \vec{F}(x;y;z) = F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z$\\
\textbf{Gradient} $\opgrad$: Skalarfeld $\rightarrow$ Vektor/Gradientenfeld\\
\small{zeigt in Richtung steilster Anstieg von $\phi$}
\begin{align*}
\boxed{\opgrad \phi = \nabla \phi }=
\begin{psmallmatrix}
\partial \phi / \partial x \\
\partial \phi / \partial y \\
\partial \phi / \partial z
\end{psmallmatrix}
= \dfrac{\partial \phi}{\partial x} \vec{e}_x + \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \vec{e}_y +
\dfrac{\partial \phi}{\partial z} \vec{e}_z
\end{align*}
\subsubsection{Rechenregeln}
$\phi, \psi$: Skalarfelder \qquad $\vec{A}, \vec{B}$: Vektorfelder
\begin{align*}
& \nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) & = & \qquad (\nabla \times \vec{A})\cdot\vec{B} - (\nabla\times\vec{B})\cdot\vec{A} \\
& \nabla \cdot (\phi \cdot \psi) & = & \qquad \phi (\nabla \psi) + \psi( \nabla \phi) \\
& \nabla \cdot (\phi \cdot \vec{A}) & = & \qquad \phi (\nabla \vec{A}) + \vec{A}(\nabla \phi) \\
& \nabla \times (\phi \cdot \vec{A}) & = & \qquad \nabla \phi \times \vec{A} + \phi (\nabla \times \vec{A})
\end{align*}
\subsubsection{Spezielle Vektorfelder}
quellenfreies Vektorfeld $\vec{F}$ $\rightarrow$ Vektorpotential $\vec{E}$
\begin{align*}
\opdiv \vec{F} = \boxed{\opdiv (\oprot \vec{E}) = 0} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{F} = \oprot \vec{E}
\end{align*}
wirbelfreies Vektorfeld $\vec{F}$ $\rightarrow$ Skalarpotential $\phi$
\begin{align*}
\oprot \vec{F} = \boxed{\oprot (\opgrad \phi) = 0} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{F} = \opgrad \phi
\end{align*}
quellen- und wirbelfreies Vektorfeld $\vec{F}$:
\begin{align*}
& \oprot \vec{F} = 0 \quad \opdiv \vec{F} = 0 \\
& \opdiv (\opgrad \phi) = \varDelta \phi = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec{F} = \opgrad \phi \\
& \oprot (\oprot \vec{F}) = \opgrad (\opdiv \vec{F}) - \varDelta \vec{F}
\end{align*}
\subsection{Logarithmische Maße/Pegel}
\textbf{Feld}größe $F_n$: Spannung, Strom, $\vec{E}$-, $\vec{H}$-Feld, Schalldruck \\
\textbf{Leistungs}größe $P_n$: Energie, \underline{Intensität}, Leistung\\
Wichtig: Feldgrößen sind \textbf{Effektivwerte}!
\begin{itemize}
\item \textbf{Dämpfungsmaß} $ a $ in Dezibel [dB] und Neper [Np]
\begin{flalign*}
1 \, \si{dB} & = 0,1151 \, \si{Np} & 1 \, \si{Np} & = 8,686 \, \si{dB} & \\
a \,[\si{dB}] & = 20 \cdot \log_{} \dfrac{F_1}{F_2} & a \,[\si{dB}] & = 10 \cdot \log_{} \frac{P_1}{P_2} & \\
\frac{F_1}{F_2} & = 10^{\frac{a[\si{dB}]}{20\si{dB}}} & \frac{P_1}{P_2} & = 10^{\frac{a[\si{dB}]}{10\si{dB}}} & \\
a \,[\si{Np}] & = \ln \dfrac{F_1}{F_2} & a \,[\si{Np}] & = \dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{P_1}{P_2} & \\
\frac{F_1}{F_2} & = e^{a[\si{Np}]} & \frac{P_1}{P_2} & = e^{2a[\si{Np}]} &
\end{flalign*}
\item \textbf{absolute Pegel} $ L $ mit Bezugsgrößen $ P_0, F_0 $
\begin{flalign*}
L \,[\si{dB}] & = 20 \cdot \log_{} \dfrac{F_1}{F_0} & L \,[\si{dB}] & = 10 \cdot \log_{} \frac{P_1}{P_0} & \\
\frac{F_1}{F_0} & = 10^{\frac{L[\si{dB}]}{20\si{dB}}} & \frac{P_1}{P_0} & = 10^{\frac{L[\si{dB}]}{10\si{dB}}} &
\end{flalign*}
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{0.8\columnwidth}{l|X|X}
\hline
Einheit & Bezugswert & Formelzeichen \\
\hline
dBm, dB(mW) & $ P_0 = 1mW $ & $ L_{\texttt{P/mW}}$ \\
dBW, dB(W) & $ P_0 = 1W $ & $ L_{\texttt{P/W}}$ \\
\hline
\end{tabularx}
\item \textbf{relativer Pegel / Maß}\\
Maß = Differenz zweier (Leistungs)pegel bei\\ gleichem Bezugswert $ P_0 $
\begin{equation*}
\Delta L = L_2 - L_1 = 10 \cdot \log \left( \frac{P_2}{P_1}\right) \si{dB}
\end{equation*}
\end{itemize}
\subsubsection{Rechnen mit Pegeln / Logarithmen}
Rechenregeln für Logarithmen (10er-Basis): \quad $ x,y,a > 0 $
\begin{flalign*}
\log (x\cdot y) & = \log (x) + \log (y) & \log (\tfrac{x}{y}) & = \log (x) - \log (y) & \\
\log (x^a) & = a\cdot \log(x) & \log \sqrt[a]{x} & = \frac{1}{a} \cdot \log (x) & \\
\mathtt{Pegel} & = 10 \cdot \log(\mathtt{Faktor}) & \mathtt{Faktor} & = 10 ^{\tfrac{\mathtt{Pegel}}{10}}
\end{flalign*}
\subsection{Rechnen mit Wurzeln}
$a$: Radikant \qquad $n$: Wurzelexponent\\
Merke: $\sqrt[n]{a \pm b} \neq \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b}$ \qquad $ x = \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $
\begin{flalign*}
& \sqrt[n]{a^m}=\left(a^m\right)^{\frac{1}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \\
& \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m]{a^{\frac{1}{n}}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{m \cdot n}}=\sqrt[m \cdot n]{a} \\
& \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right) \cdot\left(b^{\frac{1}{n}}\right)=(a b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a b} \\
& \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad(b>0)
\end{flalign*}
\subsection{Rechnen mit Potenzen}
$a$: Basis \qquad $m,n$: Exponent
\begin{flalign*}
& a^m \cdot a^n=a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} & =a^{m-n} \quad(a \neq 0) & \\
& \left(a^m\right)^n=\left(a^n\right)^m=a^{m \cdot n} & a^n \cdot b^n & =(a \cdot b)^n & \\
& \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n \quad(b \neq 0) & a^b & = e^{b \cdot \ln a} & \\
& a^0 =1 & a^{-n} & = \frac{1}{a^n} &
\end{flalign*}
\subsection{Koordinatensysteme}
\subsubsection{Umrechnungstabelle}
\begin{tabularx}{0.45\textwidth}{>{\hsize=.46\hsize}X|>{\hsize=.27\hsize}X|>{\hsize=.27\hsize}X}
Kart. & Zyl. & Kug. \\
\specialrule{1.5pt}{0pt}{0pt}
$x$ & $r \cos \varphi$ & $r \sin \vartheta \cos \varphi$ \\
\hline
$y$ & $r \sin \varphi$ & $r \sin \vartheta \sin \varphi$ \\
\hline
$z$ & $z$ & $r \cos \vartheta$ \\
\specialrule{1.5pt}{0pt}{0pt}
$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ & $r$ & \\
\hline
$\arctan \frac{y}{x}$ & $\varphi$ & \\
\hline
$z$ & $z$ & \\
\hline
$d x \cos \varphi+d y \sin \varphi$ & $dr$ & \\
\hline
$d y \cos \varphi-d x \sin \varphi$ & $r d\varphi$ & \\
\hline
$dz$ & $dz$ & \\
\specialrule{1.5pt}{0pt}{0pt}
$\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ & & $r$ \\
\hline
$\arctan \frac{y}{x}$ & & $\varphi$ \\
\hline
$\arctan \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}$ & & $\vartheta$ \\
\hline
$d x \sin \vartheta \cos \varphi+d y \sin \vartheta \sin \varphi+d z \cos \vartheta$ & & $dr$ \\
\hline
$d y \cos \varphi-d x \sin \varphi$ & & $r \sin \vartheta d \varphi$ \\
\hline
$d x \cos \vartheta \cos \varphi+d y \cos \vartheta \sin \varphi-d z \sin \vartheta$ & & $r d \vartheta$ \\
\end{tabularx}
\subsubsection{Schema KOS Kugel/Zylinder}
\input{Figures/KOS_Kugelbild.tex}