Felder.tex

\section{Felder}
\textbf{Materialgleichungen}
\begin{align*}
	\Aboxed{\vec{J}  = \kappa\vec{E} = \left[\dfrac{A}{m^2}\right]} &
	\Aboxed{\vec{B}  = \mu\vec{H} = [T]}                            &
	\Aboxed{\vec{D}  = \varepsilon\vec{E} = \left[\dfrac{C}{m^2}\right]}
\end{align*}

Verkopplung von $ \vec{E}$- und $ \vec{H}$-Felder über $ \vec{J}=\kappa\vec{E}$.\\

\textbf{Feldunterscheidung}
\begin{align*}
	 & \vec{E}(x,y,z)                               & \widehat= & \quad\text{statisches Feld}  & \\
	 & \vec{E}(x,y,z,t)                             & \widehat= & \quad\text{stationäres Feld} & \\
	 & \vec{E}(x,y,z,t)\cdot cos(\omega t -\beta z) & \widehat= & \quad\text{Welle}            &
\end{align*}

\subsection{Elektrostatik}
Wirbelfreie Felder $\rightarrow$ Gradientenfeld $\rightarrow$ elek. Ladungen
sind Quellen des $\vec{E}$-Feldes (Skalare Potenzialfkt. $ \varphi $)
\begin{align*}
	\oprot \vec{E} & = 0 = \oprot \opgrad E & \vec{E} & = -\opgrad \varphi    & \\
	\opdiv \vec{D} & = \rho                 & \vec{D} & = \varepsilon \vec{E} &
\end{align*}
\begin{equation*}
	\vec{E} = -\opgrad \varphi = - \left( \tfrac{\partial \varphi}{\partial x}\right) \vec{e}_x - \left( \tfrac{\partial \varphi}{\partial y}\right) \vec{e}_y - \left( \tfrac{\partial \varphi}{\partial z}\right) \vec{e}_z
\end{equation*}

\subsubsection{Potential-/Poisson-Gleichung}
La-Place-Gleichung, wenn $ \rho = 0 $

\begin{align*}
	\opdiv \opgrad \varphi = \Delta \varphi & = - \dfrac{\rho}{\varepsilon}           \\
	\Delta \varphi + \underbrace{ \dfrac{\opgrad \varepsilon \cdot \opgrad \varphi}{\varepsilon}}_{= 0\texttt{, wenn homogen}}
	                                        & = - \dfrac{\rho (x, y, z)}{\varepsilon} \\
	\frac{d^2 \varphi}{d x^2} + \frac{d^2 \varphi}{d y^2} + \frac{d^2 \varphi}{d z^2}
	                                        & = - \dfrac{\rho (x, y, z)}{\varepsilon}
\end{align*}

\textit{Vereinfachung} zu 1-dimensionalem System:
\begin{align*}
	\text{z.B. mit}\, \frac{\partial^2...}{\partial y^2} = \frac{\partial^2...}{\partial z^2} = 0 \quad \Rightarrow \, \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon}
\end{align*}

\subsubsection{Randwertprobleme, -bedingungen (RB)}
\textbf{Dirichlet-RB}: Gesuchte Potenzialfunktion $ \varphi $ nimmt an den
Rändern einen bestimmten Wert an (Bsp.: $\rho_r = 5V$)

\textbf{Neumann-RB}: Die Normalenableitung $ \tfrac{\partial\varphi}{\partial
		n} $ der Fkt. $ \varphi $ nimmt an den Rändern einen bestimmten Wert an. \\
(Bsp.: Grenzfläche unterschiedlicher Dielektrika)

\subsubsection{Green'sche Funktionen}
\textbullet{\textbf{Skalarpotential} einer Punktladung}
\[ \varphi (r) = \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot r} \qquad\left[V\right] \]

\textbullet{\textbf{E-Feld} einer Punktladung}
\[ \vec{E}(r) = \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot r^2}\cdot\vec{e}_r \qquad\left[\frac{V}{m}\right] \]

\textbullet{\textbf{D-Feld} einer Punktladung}
\[ \vec{D}(r) = \dfrac{Q}{4 \pi \cdot r^2}\cdot\vec{e}_r \qquad\left[\frac{As}{m^2}=\frac{C}{m^2}\right] \]

\textbullet{\textbf{Potentialfeld} einer Ladungsdichteverteilung}

mit $\varphi(\infty)=0$
\[
	\varphi(x, y, z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \iiint_{V^{\prime}}
	\frac{\rho\left(x^{\prime}, y^{\prime},
		z^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|} \mathrm{d}
	V^{\prime}
\]

mit der Green'schen Funktion $G\left(\vec{r},
	\vec{r}^{\,\prime}\right)=\frac{1}{4 \pi
		\varepsilon\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|}$
\[ \varphi(x, y, z)=\iiint_{V^{\prime}} G\left(\vec{r}^{\,\prime} \vec{r}^{\,\prime}\right) \rho\left(\vec{r}^{\,\prime}\right) \mathrm{d} V^{\prime} \]

\subsubsection{Elektrischer Dipol}
Dipolmoment $\vec{p} = Q\cdot\vec{d}$

\makebox[0pt][l]{
	\begin{minipage}[b]{0.5\columnwidth}
		\input{Figures/Felder_Elektrischer_Dipol_1.tex}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[b]{0.5\columnwidth}
		\input{Figures/Felder_Elektrischer_Dipol_2.tex}
	\end{minipage}
}

\makebox[0pt][l]{
	\begin{minipage}[]{0.5\columnwidth}
		\begin{align*}
			\varphi & = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)                                        \\
			        & = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{r_2-r_1}{r^2}                                                        \\
			\vec{E} & = -\nabla\varphi                                                                                             \\
			        & = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\left(\frac{3(\vec{p}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{p}}{r^3}\right)
		\end{align*}
	\end{minipage}

	\begin{minipage}[]{0.5\columnwidth}
		\begin{align*}
			\varphi & \approx\frac{Qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}                  \\
			        & = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}
		\end{align*}
	\end{minipage}
}

\subsection{Magnetostatik}
Quellenfreie Wirbelfelder mit \textit{geschlossenen} Feldlinien.

Keine magnetischen Monopole: $\opdiv \vec{B} = 0$.

Skalarpotential $ \varphi_m$ existiert, wenn $\vec{H}$ wirbelfrei ist:

$\oprot \vec{H} = 0$, wenn $ \vec{J}=0$.

\begin{align*}
	\opdiv \vec{B} & = 0 = \opdiv \oprot B & \vec{H} & = -\opgrad \varphi_m & \\
	\oprot \vec{H} & = \vec{J}             & \vec{B} & = \mu \vec{H}        &
\end{align*}

\subsubsection{Vektorpotential}
Reine Hilfsgröße, in Analogie zum elek. Skalarpotential $ \varphi $.

\textbf{Coulomb-Eichung}, wenn $ \opdiv \vec{A} = 0 $, gilt \textbf{nur} für
zeitunabhängige Felder.
\begin{align*}
	\Delta \vec{A} & = - \mu \vec{J}  &
	\vec{B}        & = \oprot \vec{A} &
	\left[\vec{A} \right] = \frac{Wb}{m} = \frac{Vs}{m}
\end{align*}

\subsubsection{Vektorpotential in Abhängigkeit von der Stromdichte}
\[
	\vec{A}(x, y, z)=\frac{\mu}{4 \pi} \iiint_{V^{\prime}} \frac{\vec{J}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|} d V^{\prime}
\]

\subsubsection{Biot-Savart-Gesetz}
\[
	\vec{H}=\frac{I}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \opgrad \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|} \times \mathrm{d} \vec{s}^{\,\prime}
\]

mit $\opgrad \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|}=-\frac{\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^{3}}$

\[
	\vec{H}=\frac{I}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \frac{\mathrm{d} \vec{s}^{\,\prime} \times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^{3}}
\]

{\footnotesize$\vec{r}:$ Aufpunkt $\quad \vec{r}^{\,\prime}:$ Quellpunkt}

\subsubsection{Magnetischer Dipol}
\input{Figures/Felder_Magnetischer_Dipol_1.tex}

Strom $I$ entlang eines Leiters: $\left[\vec{A}\right] = \frac{Vs}{m}$
\begin{flalign*}
	\vec{A}(r)                      & = \frac{\mu_0 \cdot I}{4 \pi} \int \frac{d \vec{R}}{| \vec{r} - \vec{R}|} = \frac{ \mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{m} \times \vec{r}}{r^3} \\
	\vec{B} = \nabla \times \vec{A} & = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left(\frac{3(\vec{m} \cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3}\right)
\end{flalign*}

\subsection{Quasistätionäre Felder (Wechselstrom)}
Homogenes, Isotropes Medium: $ \varepsilon, \mu, \kappa = \mathtt{kost.} $\\
Leiter ist quasineutral: $ \rho = 0 $.
\begin{align*}
	\oprot \vec{E} & = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} & \opdiv \vec{E} & = 0 & \vec{D} & = \varepsilon\vec{E} & \\
	\oprot \vec{H} & = \vec{J} = \kappa \vec{E}                                                        & \opdiv \vec{B} & = 0 & \vec{B} & = \mu\vec{H}         & \\
	\opdiv \vec{J} & = -\frac{\partial \rho}{\partial t}                                               & \opdiv \vec{H} & = 0 & \vec{J} & = \kappa \vec{E}     &
\end{align*}

\subsubsection{Komplexe Feldgrößen}
\textbullet komplexer Amplitudenvektor / Phasor:
\begin{equation*}
	\underline{J}=J\cdot e^{j\varphi}
\end{equation*}
\textbullet komplexer Amplituden-Drehzeiger:
\begin{align*}
	\underline{J}(t) & =\underline{J} \cdot e ^{jwt} = J \cdot e^{j(wt+\varphi)}
\end{align*}
\textbullet Darstellung in karthesischen Koordinaten:
\begin{align*}
	\underline{J} & =\underline{J}_x \cdot \vec{e}_x + \underline{J}_y \cdot \vec{e}_y + \underline{J}_z \cdot \vec{e}_z
\end{align*}

\subsection{Skineffekt}\label{sec:skineffekt}

\input{Figures/Felder_Skineffekt.tex}

\begin{description}
	\item \textbf{Eindringtiefe}/Äquivalente Leiterschichtdicke\\ (Abfall der
	      Amplitude: $A_0 \cdot \frac{1}{e}$):
	      \begin{align*}
		      \Aboxed{\delta & = \frac{1}{\alpha} =  \frac{1}{\sqrt{\pi\mu\kappa f}} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\kappa}} }\quad \left[ \delta \right] = m
	      \end{align*}

	\item (Oberflächen)\textbf{widerstand}:
	      \begin{flalign*}
		      R_{AC} & = \frac{l}{\kappa \cdot A_{\texttt{eff}}} &
		      R_{DC} & =\dfrac{l}{\kappa \pi R^{2}}              &
		      R_F    & = \dfrac{1}{\kappa \delta}                &
	      \end{flalign*}

	\item \textbf{Feldstärke} verglichen mit der Oberfläche:\\
	      \[
		      H\left( x,t\right) = H_{0}\cdot e^{^{-x}/_\delta}\cdot \cos \left( \omega t-\frac{x}{\delta}\right) = H_0 \cdot e^{\alpha x}\cdot \cos(wt-\beta x)
	      \]
	      \footnotesize $\rightarrow$ gilt \textit{analog} für $E$-Feld.

	\item \textbf{Amplitude} und \textbf{Phase} bezogen auf $\delta$:
	      \begin{align*}
		      \text{Amplitude}: x      & =\delta \cdot \ln(\mathtt{Dämpfungsfaktor}) & \\
		      \text {Dämpfung}: \alpha & = \frac{1}{\delta} \qquad
		      \text{Phase}: \varphi = -\frac{x}{\delta}
	      \end{align*}

	\item \textbf{Leistung} verglichen mit der Oberfläche:
	      \[
		      P\left( x,t\right) = \dfrac{1}{2} \cdot E_{0}\cdot e^{^{-x}/_\delta}\cdot H_{0}\cdot e^{^{-x}/_\delta}
	      \]

	\item \textbf{Rundleiter - Effektive Fläche}:
	      \begin{align*}
		      A_{\texttt{eff}} & = A_{\texttt{ges}} - A_{\sigma} = R^2\pi-(R-\delta)^2\pi \\
		                       & = 2\cdot \pi \delta \left( R-\dfrac{\delta }{2}\right)
	      \end{align*}
\end{description}

\subsubsection{Näherungen für Skineffekt}
\textbf{nur} für \textbf{Rundleiter}: $ R_{DC} = \dfrac{l}{\kappa \pi r_0^2}$
\begin{description}
	\item \textbf{Geometrische} Beschreibung (Fehler $ < 6\% $)
	      \begin{align*}
		      \frac{R_{AC}}{R_{DC}} & =
		      \begin{dcases}
			      1                                                & \text{für} \quad r_0 < \delta    \\
			      \frac{r_0^2}{2\cdot \delta \cdot r_0 - \delta^2} & \text{für} \quad r_0 \geq \delta
		      \end{dcases}
	      \end{align*}

	\item \textbf{Bessel}-Funktion (Fehler $ < 6 \% $):
	      \begin{align*}
		      \frac{R_{AC}}{R_{DC}} & =
		      \begin{dcases}
			      1 + \frac{1}{3}x^4              & \text{für} \qquad x < 1 \\
			      x + \frac{1}{4} + \frac{3}{64x} & \text{für} \qquad x > 1 \\
		      \end{dcases} \\
		      \frac{X_{AC}}{R_{DC}} & =
		      \begin{dcases}
			      x^2\left( 1-\frac{x^4}{6} \right)   & \text{für} \qquad x < 1 \\
			      x- \frac{3}{64x} + \frac{3}{128x^2} & \text{für} \qquad x > 1 \\
		      \end{dcases}
	      \end{align*}
	      \[
		      \boxed{x=\frac{r_0}{2\delta}} \qquad r_0 \, \hat{=} \textnormal{ Außenradius} \qquad X_{AC} = wL_i
	      \]

	\item \textbf{Empirische} Beschreibung (Fehler $ < 10\% $):
	      \begin{align*}
		      \frac{R_{AC}}{R_{DC}} & =
		      \begin{dcases}
			      1                                                & \text{für} \quad r_0 < \delta                      \\
			      1+ \left( \frac{r_0}{2,65\cdot \delta} \right)^4 & \text{für} \quad \delta < r_0 < 2\delta            \\
			      \frac{r_0}{2 \cdot\delta} + \frac{1}{4}          & \text{für} \quad 2\delta < r_0 < 5\delta \quad (1) \\
			      \frac{r_0}{2\cdot \delta}                        & \text{für} \quad 5\delta < r_0 \quad (2)
		      \end{dcases}
	      \end{align*}
	      \footnotesize Anmerkung: (1) $\widehat{=}$ Kreisring mit Näherung \quad
	      (2) $\widehat{=}$ Ring mittig
\end{description}

\subsection{E-Felder an Grenzflächen}
\subsubsection{Dielektrische Grenzfläche}
\textbf{Querschichtung}:
\begin{align*}
	D_{1n} & = D_{2n} & \varepsilon_1 E_{1n} & =\varepsilon_2 E_{2n} &
\end{align*}
Schwächeres E-Feld bei höherem $ \varepsilon $.

\vspace{0.5em}
\textbf{Längsschichtung}:
\begin{align*}
	E_{1t} & = E_{2t} & \frac{D_{1t}}{\varepsilon_1} & = \frac{D_{2t}}{\varepsilon_2} &
\end{align*}

Höheres D-Feld (mehr Ladungen) bei höherem $ \varepsilon $.

\vspace{0.5em}
\textbf{Schrägschichtung}:
\begin{align*}
	 & \frac{\tan( \alpha_1)}{\tan( \alpha_2)} = \frac{E_{1t}/E_{1n}}{E_{2t}/E_{2n}} = \frac{D_{2n}/\varepsilon_2}{D_{1n}/\varepsilon_1} = \frac{ \varepsilon_1}{\varepsilon_2}
\end{align*}

\subsubsection{Grenzfläche Dielektrikum-Leiter}
Ladungen verschieben sich so lange, bis im Leiter kein Feld mehr herrscht.
$\rightarrow E_{2t}, E_{2n}, D_{2t}, D_{2n} = 0 $

\vspace{0.5em}
\textbf{Längsschichtung}:
\begin{align*}
	E_{1t} & = E_{2t} = 0 & D_{1t} & =\varepsilon_1 E_{1t} = 0 &
\end{align*}
Felder stehen stets senkrecht auf elek. Leitern.

\vspace{0.5em}
\textbf{Querschichtung}:
\begin{align*}
	D_{1n} - D_{2n} & = \frac{Q}{A} & D_{1n} & = \frac{Q}{A} & E_{1n} & = \frac{Q}{\varepsilon_1 A} &
\end{align*}

D-Feld entspricht der Flächenladungsdichte des Leiters.

\subsubsection{Grenzfläche an magn. Feldern}
\textbf{Querschichtung}:
\begin{align*}
	B_{1n} & = B_{2n} & \mu_1 H_{1n} & =\mu_2 H_{2n} &
\end{align*}
Schwächeres H-Feld bei höherem $ \mu $.\\

\textbf{Längsschichtung}:
\begin{align*}
	H_{1t} & = H_{2t} & \frac{B_{1t}}{mu_1} & = \frac{B_{2t}}{\mu_2} &
\end{align*}

Höheres B-Feld (mehr Fluss) bei höherem $ \mu $.

\vspace{0.5em}
\textbf{Schrägschichtung}:
\begin{align*}
	 & \frac{\tan( \alpha_1)}{\tan( \alpha_2)} = \frac{ \mu_1}{\mu_2}
\end{align*}