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from typing import cast, List, Tuple
import warnings
import numpy as np
from packaging import version
from scipy.sparse import csc_matrix
import scs
__version__ = "1.1.0"
# preserve support for SCS 2.x.x and 3.x.x
if version.parse(scs.__version__) < version.parse("3.0.0"):
_CONES = {"f": 22, "l": 0, "q": [], "ep": 0, "s": [10]} # cones
_scs_kwarg_map = dict(eps="eps", max_iters="max_iters", verbose="verbose")
else:
_CONES = {"z": 22, "l": 0, "q": [], "ep": 0, "s": [10]} # cones
_scs_kwarg_map = dict(eps="eps_abs", max_iters="max_iters", verbose="verbose")
def _point_constraints(
pts_2d: np.ndarray, pts_3d: np.ndarray, K: np.ndarray
) -> Tuple[
Tuple[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray], Tuple[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray]
]:
"""Build point constraints from 2D-3D correspondences.
Arguments:
pts_2d -- n x 2 np.array of 2D pixels
pts_3d -- n x 3 np.array of 3D points
K -- 3 x 3 np.array with the camera intrinsics
"""
n = len(pts_3d)
zeros = np.zeros(n)
# Expand arguments
# points in 2D
px, py, pz = np.linalg.solve(K, np.vstack((pts_2d.T, np.ones(n))))
# points in 3D
Px, Py, Pz = pts_3d.T
# Point Constraints
Pxpx = Px * px
Pxpy = Px * py
Pxpz = Px * pz
Pypx = Py * px
Pypy = Py * py
Pypz = Py * pz
Pzpx = Pz * px
Pzpy = Pz * py
Pzpz = Pz * pz
c11 = zeros
c12 = -Pxpz
c13 = Pxpy
c14 = zeros
c15 = -Pypz
c16 = Pypy
c17 = zeros
c18 = -Pzpz
c19 = Pzpy
c21 = Pxpz
c22 = zeros
c23 = -Pxpx
c24 = Pypz
c25 = zeros
c26 = -Pypx
c27 = Pzpz
c28 = zeros
c29 = -Pzpx
c31 = -Pxpy
c32 = Pxpx
c33 = zeros
c34 = -Pypy
c35 = Pypx
c36 = zeros
c37 = -Pzpy
c38 = Pzpx
c39 = zeros
n11 = zeros
n12 = -pz
n13 = py
n21 = pz
n22 = zeros
n23 = -px
n31 = -py
n32 = px
n33 = zeros
## Compose block matrices for the equation system
c1 = np.stack((c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19), axis=1)
c2 = np.stack((c21, c22, c23, c24, c25, c26, c27, c28, c29), axis=1)
c3 = np.stack((c31, c32, c33, c34, c35, c36, c37, c38, c39), axis=1)
n1 = np.stack((n11, n12, n13), axis=1)
n2 = np.stack((n21, n22, n23), axis=1)
n3 = np.stack((n31, n32, n33), axis=1)
return (c1, c2, c3), (n1, n2, n3)
def _line_constraints(
line_2d: np.ndarray, line_3d: np.ndarray, K: np.ndarray
) -> Tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
"""Build line constraints from 2D-3D correspondences.
Arguments:
line_2d -- n x 2 x 2 np.array organized as (line, pt, dim). Each line is defined
by sampling 2 points from it. Each point is a pixel in 2D.
line_3d -- A n x 2 x 3 np.array organized as (line, pt, dim). Each line is defined
by 2 points. The points reside in 3D.
K -- 3 x 3 np.array with the camera intrinsics.
"""
n = len(line_2d)
# line in 2D
# has two sampled points.
line_2d_c = np.linalg.solve(
K, np.vstack((line_2d.reshape((2 * n, 2)).T, np.ones((1, 2 * n))))
).T
line_2d_c = line_2d_c.reshape((n, 2, 3))
# row wise cross product
n_li = np.cross(line_2d_c[:, 0, :], line_2d_c[:, 1, :])
# Normalize for stability
n_li /= np.linalg.norm(n_li, axis=1)[:, None]
n_li = np.hstack((n_li, n_li)).reshape((-1, 3))
nx, ny, nz = n_li.T
# line in 3D
PL = line_3d.reshape((-1, 3))
PLx, PLy, PLz = PL.T
# Line constraints - point
cl1 = PLx * nx
cl2 = PLx * ny
cl3 = PLx * nz
cl4 = PLy * nx
cl5 = PLy * ny
cl6 = PLy * nz
cl7 = PLz * nx
cl8 = PLz * ny
cl9 = PLz * nz
## Compose block matrices for the equation system
C = np.stack((cl1, cl2, cl3, cl4, cl5, cl6, cl7, cl8, cl9), axis=1)
return C, n_li
def _re6q3(A: np.ndarray) -> Tuple[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray]:
"""Solves the E6Q3 problem i.e., the intersection of 6 quadrics with 3 unknowns.
Arguments:
A -- The N x 10 matrix with N >= 6. The columns are ordered as
[a^2, b^2, c^2, ab, ac, bc, a, b, c, 1].
"""
B = A[:, :6]
C = A[:, 6:]
Ap = np.block([np.eye(6), np.linalg.solve(B.T @ B, B.T @ C)])
# Extract D
D = -Ap[[1, 2, 5]][:, 6:]
d0, d1, d2 = D
d00, d01, d02, d03 = d0
d10, d11, d12, d13 = d1
d20, d21, d22, d23 = d2
# Compose the polynomial coefficients
# fmt: off
p0 = d01**3*d11*d12*d22*d23 - d01**3*d11*d13*d22**2 + d01**3*d11*d23**2 - d01**2*d02*d11**2*d22*d23 + d01**2*d02*d11*d12**2*d23 - d01**2*d02*d11*d12*d13*d22 - d01**2*d02*d11*d12*d21*d23 + 2*d01**2*d02*d11*d13*d21*d22 + 2*d01**2*d02*d11*d13*d23 + d01**2*d03*d11**2*d22**2 - d01**2*d03*d11*d12*d21*d22 + d01**2*d03*d11*d12*d23 - 2*d01**2*d03*d11*d13*d22 - 2*d01**2*d03*d11*d21*d23 - 2*d01**2*d11*d12*d22**2*d23 + 2*d01**2*d11*d13*d22**3 - 2*d01**2*d11*d22*d23**2 + d01**2*d12**2*d21*d22*d23 - d01**2*d12*d13*d21*d22**2 + d01**2*d12*d13*d22*d23 - d01**2*d12*d21**2*d22*d23 + d01**2*d12*d21*d23**2 - d01**2*d13**2*d22**2 + d01**2*d13*d21**2*d22**2 + d01**2*d13*d23**2 - d01**2*d21**2*d23**2 - 2*d01*d02**2*d11**2*d12*d23 + d01*d02**2*d11**2*d13*d22 + d01*d02**2*d11**2*d21*d23 + d01*d02**2*d11*d12*d13*d21 + d01*d02**2*d11*d13**2 - d01*d02**2*d11*d13*d21**2 + d01*d02*d03*d11**2*d12*d22 - d01*d02*d03*d11**2*d21*d22 - 3*d01*d02*d03*d11**2*d23 - d01*d02*d03*d11*d12**2*d21 - d01*d02*d03*d11*d12*d13 + d01*d02*d03*d11*d12*d21**2 + 2*d01*d02*d11**2*d22**2*d23 - d01*d02*d11*d12**2*d22*d23 + d01*d02*d11*d12*d13*d22**2 + 2*d01*d02*d11*d12*d21*d22*d23 + d01*d02*d11*d12*d23**2 - 5*d01*d02*d11*d13*d21*d22**2 - 5*d01*d02*d11*d13*d22*d23 + d01*d02*d11*d21**2*d22*d23 + d01*d02*d11*d21*d23**2 + d01*d02*d12**3*d21*d23 - d01*d02*d12**2*d13*d21*d22 + d01*d02*d12**2*d13*d23 - 2*d01*d02*d12**2*d21**2*d23 - d01*d02*d12*d13**2*d22 + 3*d01*d02*d12*d13*d21**2*d22 + d01*d02*d12*d13*d21*d23 + d01*d02*d12*d21**3*d23 + 2*d01*d02*d13**2*d21*d22 + 2*d01*d02*d13**2*d23 - 2*d01*d02*d13*d21**3*d22 - 2*d01*d02*d13*d21**2*d23 + 2*d01*d03**2*d11**2*d22 - d01*d03**2*d11*d12*d21 - d01*d03**2*d11*d13 + d01*d03**2*d11*d21**2 - 2*d01*d03*d11**2*d22**3 + 3*d01*d03*d11*d12*d21*d22**2 + d01*d03*d11*d12*d22*d23 + 2*d01*d03*d11*d13*d22**2 - d01*d03*d11*d21**2*d22**2 + 4*d01*d03*d11*d21*d22*d23 + 3*d01*d03*d11*d23**2 - d01*d03*d12**2*d21**2*d22 + d01*d03*d12**2*d21*d23 - 3*d01*d03*d12*d13*d21*d22 + d01*d03*d12*d13*d23 + d01*d03*d12*d21**3*d22 - 3*d01*d03*d12*d21**2*d23 - 2*d01*d03*d13**2*d22 + 2*d01*d03*d13*d21**2*d22 - 2*d01*d03*d13*d21*d23 + 2*d01*d03*d21**3*d23 + d01*d11*d12*d22**3*d23 - d01*d11*d13*d22**4 + d01*d11*d22**2*d23**2 - d01*d12**2*d21*d22**2*d23 + d01*d12**2*d22*d23**2 + d01*d12*d13*d21*d22**3 - 3*d01*d12*d13*d22**2*d23 - 3*d01*d12*d21*d22*d23**2 + d01*d12*d23**3 + 2*d01*d13**2*d22**3 + 2*d01*d13*d21*d22**2*d23 - 2*d01*d13*d22*d23**2 - 2*d01*d21*d23**3 + d02**3*d11**3*d23 - d02**3*d11**2*d13*d21 - d02**2*d03*d11**3*d22 + d02**2*d03*d11**2*d12*d21 - d02**2*d03*d11**2*d13 + d02**2*d11**2*d12*d22*d23 - 3*d02**2*d11**2*d21*d22*d23 - 3*d02**2*d11**2*d23**2 - d02**2*d11*d12**2*d21*d23 - d02**2*d11*d12*d13*d21*d22 - 3*d02**2*d11*d12*d13*d23 + 2*d02**2*d11*d12*d21**2*d23 + d02**2*d11*d13**2*d22 + 3*d02**2*d11*d13*d21**2*d22 + 5*d02**2*d11*d13*d21*d23 - d02**2*d11*d21**3*d23 + d02**2*d12**2*d13*d21**2 + 2*d02**2*d12*d13**2*d21 - 2*d02**2*d12*d13*d21**3 + d02**2*d13**3 - 2*d02**2*d13**2*d21**2 + d02**2*d13*d21**4 + d02*d03**2*d11**2*d12 + d02*d03**2*d11**2*d21 - d02*d03*d11**2*d12*d22**2 + 3*d02*d03*d11**2*d21*d22**2 + 5*d02*d03*d11**2*d22*d23 + 2*d02*d03*d11*d12**2*d21*d22 + 2*d02*d03*d11*d12**2*d23 - 5*d02*d03*d11*d12*d21**2*d22 - 5*d02*d03*d11*d12*d21*d23 - d02*d03*d11*d13*d21*d22 - d02*d03*d11*d13*d23 + d02*d03*d11*d21**3*d22 + d02*d03*d11*d21**2*d23 - d02*d03*d12**3*d21**2 - 2*d02*d03*d12**2*d13*d21 + 2*d02*d03*d12**2*d21**3 - d02*d03*d12*d13**2 + 2*d02*d03*d12*d13*d21**2 - d02*d03*d12*d21**4 - d02*d11**2*d22**3*d23 + d02*d11*d12*d21*d22**2*d23 + d02*d11*d12*d22*d23**2 + d02*d11*d13*d21*d22**3 + d02*d11*d13*d22**2*d23 + 3*d02*d11*d21*d22*d23**2 + 3*d02*d11*d23**3 + d02*d12**3*d23**2 - 2*d02*d12**2*d13*d22*d23 - 2*d02*d12**2*d21*d23**2 + d02*d12*d13**2*d22**2 - d02*d12*d13*d21**2*d22**2 + 4*d02*d12*d13*d21*d22*d23 + 3*d02*d12*d13*d23**2 + d02*d12*d21**2*d23**2 - 4*d02*d13**2*d21*d22**2 - 4*d02*d13**2*d22*d23 - 4*d02*d13*d21**2*d22*d23 - 4*d02*d13*d21*d23**2 + d03**3*d11**2 - 2*d03**2*d11**2*d22**2 + 2*d03**2*d11*d12*d21*d22 + 2*d03**2*d11*d12*d23 - 4*d03**2*d11*d21**2*d22 - 4*d03**2*d11*d21*d23 - d03**2*d12**2*d21**2 - 2*d03**2*d12*d13*d21 + 2*d03**2*d12*d21**3 - d03**2*d13**2 + 2*d03**2*d13*d21**2 - d03**2*d21**4 + d03*d11**2*d22**4 - 2*d03*d11*d12*d21*d22**3 - 2*d03*d11*d12*d22**2*d23 - 4*d03*d11*d21*d22**2*d23 - 4*d03*d11*d22*d23**2 + d03*d12**2*d21**2*d22**2 + d03*d12**2*d23**2 + 2*d03*d12*d13*d21*d22**2 - 2*d03*d12*d13*d22*d23 + 2*d03*d12*d21**2*d22*d23 - 2*d03*d12*d21*d23**2 + 2*d03*d13**2*d22**2 + 2*d03*d13*d21**2*d22**2 + 8*d03*d13*d21*d22*d23 + 2*d03*d13*d23**2 + 2*d03*d21**2*d23**2 - d12**2*d22**2*d23**2 + 2*d12*d13*d22**3*d23 - 2*d12*d22*d23**3 - d13**2*d22**4 + 2*d13*d22**2*d23**2 - d23**4
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p1 += d02**2*d10*d12**2*d21**2 + 4*d02**2*d10*d12*d13*d21 - 2*d02**2*d10*d12*d21**3 + 3*d02**2*d10*d13**2 - 4*d02**2*d10*d13*d21**2 + d02**2*d10*d21**4 + d02**2*d11**2*d12*d20*d22 - 3*d02**2*d11**2*d20*d21*d22 - 6*d02**2*d11**2*d20*d23 - d02**2*d11*d12**2*d20*d21 - 3*d02**2*d11*d12*d13*d20 + 2*d02**2*d11*d12*d20*d21**2 + 5*d02**2*d11*d13*d20*d21 - d02**2*d11*d20*d21**3 - d02*d03*d10*d11*d21*d22 - d02*d03*d10*d11*d23 - 2*d02*d03*d10*d12**2*d21 - 2*d02*d03*d10*d12*d13 + 2*d02*d03*d10*d12*d21**2 + 5*d02*d03*d11**2*d20*d22 + 2*d02*d03*d11*d12**2*d20 - 5*d02*d03*d11*d12*d20*d21 - d02*d03*d11*d13*d20 + d02*d03*d11*d20*d21**2 + d02*d10*d11*d21*d22**3 + d02*d10*d11*d22**2*d23 - 2*d02*d10*d12**2*d22*d23 + 2*d02*d10*d12*d13*d22**2 - d02*d10*d12*d21**2*d22**2 + 4*d02*d10*d12*d21*d22*d23 + 3*d02*d10*d12*d23**2 - 8*d02*d10*d13*d21*d22**2 - 8*d02*d10*d13*d22*d23 - 4*d02*d10*d21**2*d22*d23 - 4*d02*d10*d21*d23**2 - d02*d11**2*d20*d22**3 + d02*d11*d12*d20*d21*d22**2 + 2*d02*d11*d12*d20*d22*d23 + d02*d11*d13*d20*d22**2 + 6*d02*d11*d20*d21*d22*d23 + 9*d02*d11*d20*d23**2 + 2*d02*d12**3*d20*d23 - 2*d02*d12**2*d13*d20*d22 - 4*d02*d12**2*d20*d21*d23 + 4*d02*d12*d13*d20*d21*d22 + 6*d02*d12*d13*d20*d23 + 2*d02*d12*d20*d21**2*d23 - 4*d02*d13**2*d20*d22 - 4*d02*d13*d20*d21**2*d22 - 8*d02*d13*d20*d21*d23 - 2*d03**2*d10*d12*d21 - 2*d03**2*d10*d13 + 2*d03**2*d10*d21**2 + 2*d03**2*d11*d12*d20 - 4*d03**2*d11*d20*d21 + 2*d03*d10*d12*d21*d22**2 - 2*d03*d10*d12*d22*d23 + 4*d03*d10*d13*d22**2 + 2*d03*d10*d21**2*d22**2 + 8*d03*d10*d21*d22*d23 + 2*d03*d10*d23**2 - 2*d03*d11*d12*d20*d22**2 - 4*d03*d11*d20*d21*d22**2 - 8*d03*d11*d20*d22*d23 + 2*d03*d12**2*d20*d23 - 2*d03*d12*d13*d20*d22 + 2*d03*d12*d20*d21**2*d22 - 4*d03*d12*d20*d21*d23 + 8*d03*d13*d20*d21*d22 + 4*d03*d13*d20*d23 + 4*d03*d20*d21**2*d23 + 2*d10*d12*d22**3*d23 - 2*d10*d13*d22**4 + 2*d10*d22**2*d23**2 - 2*d12**2*d20*d22**2*d23 + 2*d12*d13*d20*d22**3 - 6*d12*d20*d22*d23**2 + 4*d13*d20*d22**2*d23 - 4*d20*d23**3
p2 = 2*d00**2*d01*d11**2*d22 - d00**2*d01*d11*d12*d21 - d00**2*d01*d11*d13 + d00**2*d01*d11*d21**2 + d00**2*d02*d11**2*d12 + d00**2*d02*d11**2*d21 + 3*d00**2*d03*d11**2 - 2*d00**2*d11**2*d22**2 + 2*d00**2*d11*d12*d21*d22 + 2*d00**2*d11*d12*d23 - 4*d00**2*d11*d21**2*d22 - 4*d00**2*d11*d21*d23 - d00**2*d12**2*d21**2 - 2*d00**2*d12*d13*d21 + 2*d00**2*d12*d21**3 - d00**2*d13**2 + 2*d00**2*d13*d21**2 - d00**2*d21**4 - 2*d00*d01**2*d10*d11*d22 + d00*d01**2*d11*d12*d20 - 2*d00*d01**2*d11*d20*d21 - d00*d01*d02*d10*d11*d12 - 3*d00*d01*d02*d11**2*d20 - 2*d00*d01*d03*d10*d11 + 2*d00*d01*d10*d11*d22**2 - 3*d00*d01*d10*d12*d21*d22 + d00*d01*d10*d12*d23 - 4*d00*d01*d10*d13*d22 + 2*d00*d01*d10*d21**2*d22 - 2*d00*d01*d10*d21*d23 + d00*d01*d11*d12*d20*d22 + 4*d00*d01*d11*d20*d21*d22 + 6*d00*d01*d11*d20*d23 + d00*d01*d12**2*d20*d21 + d00*d01*d12*d13*d20 - 3*d00*d01*d12*d20*d21**2 - 2*d00*d01*d13*d20*d21 + 2*d00*d01*d20*d21**3 - d00*d02**2*d10*d11**2 - d00*d02*d10*d11*d21*d22 - d00*d02*d10*d11*d23 - 2*d00*d02*d10*d12**2*d21 - 2*d00*d02*d10*d12*d13 + 2*d00*d02*d10*d12*d21**2 + 5*d00*d02*d11**2*d20*d22 + 2*d00*d02*d11*d12**2*d20 - 5*d00*d02*d11*d12*d20*d21 - d00*d02*d11*d13*d20 + d00*d02*d11*d20*d21**2 - 4*d00*d03*d10*d12*d21 - 4*d00*d03*d10*d13 + 4*d00*d03*d10*d21**2 + 4*d00*d03*d11*d12*d20 - 8*d00*d03*d11*d20*d21 + 2*d00*d10*d12*d21*d22**2 - 2*d00*d10*d12*d22*d23 + 4*d00*d10*d13*d22**2 + 2*d00*d10*d21**2*d22**2 + 8*d00*d10*d21*d22*d23 + 2*d00*d10*d23**2 - 2*d00*d11*d12*d20*d22**2 - 4*d00*d11*d20*d21*d22**2 - 8*d00*d11*d20*d22*d23 + 2*d00*d12**2*d20*d23 - 2*d00*d12*d13*d20*d22 + 2*d00*d12*d20*d21**2*d22 - 4*d00*d12*d20*d21*d23 + 8*d00*d13*d20*d21*d22 + 4*d00*d13*d20*d23 + 4*d00*d20*d21**2*d23 + d01**3*d11*d20**2 + 2*d01**2*d02*d10*d11*d20 - d01**2*d10**2*d22**2 + d01**2*d10*d12*d20*d22 + 2*d01**2*d10*d20*d23 - 2*d01**2*d11*d20**2*d22 + d01**2*d12*d20**2*d21 + d01**2*d13*d20**2 - d01**2*d20**2*d21**2 + d01*d02**2*d10**2*d11 - d01*d02*d10**2*d12*d22 + 2*d01*d02*d10**2*d21*d22 + 2*d01*d02*d10**2*d23 - 5*d01*d02*d10*d11*d20*d22 + d01*d02*d10*d12**2*d20 + d01*d02*d10*d12*d20*d21 + 4*d01*d02*d10*d13*d20 - 2*d01*d02*d10*d20*d21**2 + d01*d02*d11*d12*d20**2 + d01*d02*d11*d20**2*d21 - 2*d01*d03*d10**2*d22 + d01*d03*d10*d12*d20 - 2*d01*d03*d10*d20*d21 + 3*d01*d03*d11*d20**2 + 2*d01*d10**2*d22**3 - 3*d01*d10*d12*d20*d22**2 + 2*d01*d10*d20*d21*d22**2 - 4*d01*d10*d20*d22*d23 + d01*d11*d20**2*d22**2 + d01*d12**2*d20**2*d22 - 3*d01*d12*d20**2*d21*d22 + 3*d01*d12*d20**2*d23 - 2*d01*d13*d20**2*d22 - 6*d01*d20**2*d21*d23 + d02**2*d10**2*d11*d22 + 2*d02**2*d10**2*d12*d21 + 3*d02**2*d10**2*d13 - 2*d02**2*d10**2*d21**2 - 3*d02**2*d10*d11*d12*d20 + 5*d02**2*d10*d11*d20*d21 - 3*d02**2*d11**2*d20**2 - d02*d03*d10**2*d12 - d02*d03*d10*d11*d20 + d02*d10**2*d12*d22**2 - 4*d02*d10**2*d21*d22**2 - 4*d02*d10**2*d22*d23 + d02*d10*d11*d20*d22**2 - 2*d02*d10*d12**2*d20*d22 + 4*d02*d10*d12*d20*d21*d22 + 6*d02*d10*d12*d20*d23 - 8*d02*d10*d13*d20*d22 - 4*d02*d10*d20*d21**2*d22 - 8*d02*d10*d20*d21*d23 + d02*d11*d12*d20**2*d22 + 3*d02*d11*d20**2*d21*d22 + 9*d02*d11*d20**2*d23 + d02*d12**3*d20**2 - 2*d02*d12**2*d20**2*d21 + 3*d02*d12*d13*d20**2 + d02*d12*d20**2*d21**2 - 4*d02*d13*d20**2*d21 - d03**2*d10**2 + 2*d03*d10**2*d22**2 - 2*d03*d10*d12*d20*d22 + 8*d03*d10*d20*d21*d22 + 4*d03*d10*d20*d23 - 4*d03*d11*d20**2*d22 + d03*d12**2*d20**2 - 2*d03*d12*d20**2*d21 + 2*d03*d13*d20**2 + 2*d03*d20**2*d21**2 - d10**2*d22**4 + 2*d10*d12*d20*d22**3 + 4*d10*d20*d22**2*d23 - d12**2*d20**2*d22**2 - 6*d12*d20**2*d22*d23 + 2*d13*d20**2*d22**2 - 6*d20**2*d23**2
p3 = d00**3*d11**2 - d00**2*d01*d10*d11 - 2*d00**2*d10*d12*d21 - 2*d00**2*d10*d13 + 2*d00**2*d10*d21**2 + 2*d00**2*d11*d12*d20 - 4*d00**2*d11*d20*d21 - 2*d00*d01*d10**2*d22 + d00*d01*d10*d12*d20 - 2*d00*d01*d10*d20*d21 + 3*d00*d01*d11*d20**2 - d00*d02*d10**2*d12 - d00*d02*d10*d11*d20 - 2*d00*d03*d10**2 + 2*d00*d10**2*d22**2 - 2*d00*d10*d12*d20*d22 + 8*d00*d10*d20*d21*d22 + 4*d00*d10*d20*d23 - 4*d00*d11*d20**2*d22 + d00*d12**2*d20**2 - 2*d00*d12*d20**2*d21 + 2*d00*d13*d20**2 + 2*d00*d20**2*d21**2 + d01**2*d10*d20**2 + 2*d01*d02*d10**2*d20 - 2*d01*d10*d20**2*d22 + d01*d12*d20**3 - 2*d01*d20**3*d21 + d02**2*d10**3 - 4*d02*d10**2*d20*d22 + 3*d02*d10*d12*d20**2 - 4*d02*d10*d20**2*d21 + 3*d02*d11*d20**3 + 2*d03*d10*d20**2 + 2*d10*d20**2*d22**2 - 2*d12*d20**3*d22 - 4*d20**3*d23
p4 = -d00**2*d10**2 + 2*d00*d10*d20**2 - d20**4
# fmt: on
# Compute the polynomial roots
roots = np.roots((p4, p3, p2, p1, p0))
a = np.real(roots)
# Construct M from identities
# fmt: off
m00 = -a*d20 + d02*d11 - d21*d22 - d23
m01 = a*d00 + d01*d22 + d02*d12 - d02*d21 + d03 - d22**2
m02 = a*(-d00*d21 + d01*d20 + d02*d10 - d20*d22) + d01*d23 + d02*d13 - d03*d21 - d22*d23
m10 = a*d10 + d01*d11 - d11*d22 + d12*d21 + d13 - d21**2
m11 = -a*d20 + d02*d11 - d21*d22 - d23
m12 = a*(d00*d11 - d10*d22 + d12*d20 - d20*d21) + d03*d11 + d12*d23 - d13*d22 - d21*d23
m20 = a*(d00*d11 + d01*d10 - 2*d20*d21) + d01**2*d11 + d01*d12*d21 + d01*d13 - d01*d21**2 + d02*d11*d12 + d02*d11*d21 + d03*d11 - d11*d22**2 - 2*d21**2*d22 - 2*d21*d23
m21 = a*(d00*d12 + d02*d10 - 2*d20*d22) + d01*d02*d11 + d01*d12*d22 + d02*d11*d22 + d02*d12**2 + d02*d13 - d02*d21**2 + d03*d12 - d12*d22**2 - 2*d21*d22**2 - 2*d22*d23
m22 = a**2*(d00*d10 - d20**2) + a*(d00*d01*d11 + d00*d13 - d00*d21**2 + d01*d12*d20 + d02*d10*d12 + d02*d11*d20 + d03*d10 - d10*d22**2 - 2*d20*d21*d22 - 2*d20*d23) + d01*d03*d11 + d01*d12*d23 + d02*d11*d23 + d02*d12*d13 + d03*d13 - d03*d21**2 - d13*d22**2 - 2*d21*d22*d23 - d23**2
# fmt: on
M = np.block(
[
[m00[:, None, None], m01[:, None, None], m02[:, None, None]],
[m10[:, None, None], m11[:, None, None], m12[:, None, None]],
[m20[:, None, None], m21[:, None, None], m22[:, None, None]],
]
)
# Extract b and c
bc = -np.linalg.solve(
M[:, :, :2].transpose((0, 2, 1)) @ M[:, :, :2],
M[:, :, :2].transpose((0, 2, 1)) @ M[:, :, 2, None],
)
b, c = bc.reshape((-1, 2)).T
return a, b, c
def _constraint_ortho_det(vecs: np.ndarray, rank: int) -> np.ndarray:
"""Estimate poses possible rotation solutions from enforcing geometric constraints
on the solution space.
Arguments:
vecs -- the eigenvectors from Z, stacked in columns
rank -- the rank of Z
"""
# We can only handle up to rank 4.
# rank ceils into the next
_rank = min(int(np.ceil(rank / 2) * 2), 4)
# Marginalize
V = vecs[:, -_rank:].T
v0 = V[-1] / V[-1, -1]
V = np.vstack((V[:-1] - np.outer(V[:-1, -1], v0), v0)).T[:-1] # type: ignore
# Row and Col constraints norm and orthogonality constraints
k = 0
Pc = np.zeros((6, _rank, _rank))
Pr = np.zeros((6, _rank, _rank))
for i in range(3):
for j in range(i, 3):
e_i = np.zeros(3)
e_i[i] = 1
e_j = np.zeros(3)
e_j[j] = 1
Vci = np.kron(e_i, np.eye(3)) @ V
Vcj = np.kron(e_j, np.eye(3)) @ V
Vri = np.kron(np.eye(3), e_i) @ V
Vrj = np.kron(np.eye(3), e_j) @ V
K = np.diag(np.zeros(_rank))
K[-1, -1] = int(i == j)
P = Vci.T @ Vcj - K
Pc[k] = 0.5 * (P + P.T)
P = Vri.T @ Vrj - K
Pr[k] = 0.5 * (P + P.T)
k += 1
# Determinant constraints
m = 0
Pdet = np.zeros((9, _rank, _rank))
for i, j, k in ((0, 1, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1)):
for l in range(3):
e_i = np.zeros(3)
e_i[i] = 1
e_j = np.zeros(3)
e_j[j] = 1
e_k = np.zeros(3)
e_k[k] = 1
e_l = np.zeros(3)
e_l[l] = 1
S = np.array(
[[0, -e_l[2], e_l[1]], [e_l[2], 0, -e_l[0]], [-e_l[1], e_l[0], 0]]
)
Vci = np.kron(e_i, np.eye(3)) @ V
Vcj = np.kron(e_j, np.eye(3)) @ V
Vck = np.kron(e_k, np.eye(3)) @ V
P = Vcj.T @ S @ Vci - np.block(
[[np.zeros((_rank - 1, _rank))], [e_l @ Vck]]
)
Pdet[m] = 0.5 * (P + P.T)
m += 1
# Construct equation system
P = np.concatenate((Pc, Pr, Pdet), axis=0)
alpha_d = None
if _rank == 2:
A = np.array([P[:, 0, 0], 2 * P[:, 0, 1], P[:, 1, 1]]).T # a**2, a, 1
# Condense everything and solve the general quadratic formula
coeffs = np.mean(A, axis=0)
a = np.empty(2)
root = np.real(
np.sqrt(np.maximum(coeffs[1] * coeffs[1] - 4 * coeffs[0] * coeffs[2], 0))
)
a[0] = (-coeffs[1] + root) / (2 * coeffs[0])
a[1] = (-coeffs[1] - root) / (2 * coeffs[0])
alpha_d = np.stack([a, np.ones(2)], axis=1)
elif _rank == 4:
A = np.array(
[
P[:, 0, 0], # a**2
P[:, 1, 1], # b**2
P[:, 2, 2], # c**2
2 * P[:, 0, 1], # ab
2 * P[:, 0, 2], # ac
2 * P[:, 1, 2], # bc
2 * P[:, 0, 3], # a
2 * P[:, 1, 3], # b
2 * P[:, 2, 3], # c
P[:, 3, 3], # 1
]
).T
# Solve the 6Q3 system
a, b, c = _re6q3(A)
# Return all candidates
m = len(a)
alpha_d = np.stack([a, b, c, np.ones(m)], axis=1)
else:
raise NotImplementedError
return alpha_d @ V.T
def _vech10(A: np.ndarray, scale: float = 1) -> np.ndarray:
"""Create a vectorized version of a symmetric matrix and
scale the off diagonal elements with scale
"""
S = scale * np.ones_like(A)
S[np.eye(10, dtype=bool)] = 1
As = S * A
return cast(
np.ndarray,
np.concatenate(
(
As[:, 0],
As[1:, 1],
As[2:, 2],
As[3:, 3],
As[4:, 4],
As[5:, 5],
As[6:, 6],
As[7:, 7],
As[8:, 8],
np.atleast_1d(As[9, 9]),
)
),
)
def _vech10_inv(v: np.ndarray) -> np.ndarray:
"""Create a symmetric matrix from its vectorized
representation
"""
A = np.empty((10, 10))
ke = 0
for i in range(10):
ks = ke
ke = ks + 10 - i
A[i, i:] = v[ks:ke]
A[i:, i] = v[ks:ke]
return A
def _sdp_constraints() -> Tuple[csc_matrix, np.ndarray]:
"""Generates the static sdp constraints for the optimization problem"""
# Placeholder
Ad = np.zeros((77, 55))
E_ij = np.reshape(
np.eye(3)[:, None, :, None] * np.eye(3)[None, :, None], (-1, 3, 3)
)
# Linear equalities
# Z10,10 = 1
Ad[0, -1] = 1
# Rows and cols
E_ij_rc = E_ij[[0, 1, 2, 4, 5, 8]]
c = np.array((1, 0, 0, 1, 0, 1))
for i in range(6):
P = np.block(
[
[np.kron(np.eye(3), E_ij_rc[i].T), np.zeros((9, 1))],
[np.zeros(9), -c[i]],
]
)
Ad[i + 1] = _vech10(0.5 * (P + P.T), 2)
P = np.block(
[
[np.kron(E_ij_rc[i], np.eye(3)), np.zeros((9, 1))],
[np.zeros(9), -c[i]],
]
)
Ad[i + 7] = _vech10(0.5 * (P + P.T), 2)
# Determinant
E_ji_det = E_ij[[3, 3, 3, 7, 7, 7, 2, 2, 2]]
e_l = np.kron(np.ones(3), np.eye(3)).T
e_k = np.repeat(np.eye(3)[[2, 0, 1]], 3, axis=0)
for i in range(9):
S = np.array(
[
[0, -e_l[i, 2], e_l[i, 1]],
[e_l[i, 2], 0, -e_l[i, 0]],
[-e_l[i, 1], e_l[i, 0], 0],
]
)
P = np.block(
[[np.kron(E_ji_det[i], S), np.zeros((9, 1))], [-np.kron(e_k[i], e_l[i]), 0]] # type: ignore
)
Ad[i + 13] = _vech10(0.5 * (P + P.T), 2)
# Cones
mask = np.concatenate((np.zeros((22, 55), dtype=bool), np.eye(55, dtype=bool)))
Ad[mask] = -_vech10(np.ones((10, 10)), np.sqrt(2))
# convert to csc matrix
A = csc_matrix(Ad)
# Constants
b = np.zeros(77)
b[0] = 1
return A, b
_A, _b = _sdp_constraints()
def _solve_relaxation(
A: np.ndarray,
B: np.ndarray,
eps: float = 1e-9,
max_iters: int = 2500,
verbose: bool = False,
) -> List[Tuple[np.ndarray, np.ndarray]]:
"""Given the linear system formed by the problem's geometric constraints,
computes all possible poses.
Arguments:
A -- the matrix defining the homogeneous linear system formed from the problem's
geometric constraints, such that A r = 0.
B -- an auxiliary matrix which allows to retrieve the translation vector
from an optimal rotation t = - B @ r.
eps -- numerical precision of the solver
max_iters -- maximum number of iterations the solver is allowed to perform
verbose -- print additional information to the console
"""
# Solve the QCQP using shor's relaxation
# Construct Q
Q = np.block([[A.T @ A, np.zeros((9, 1))], [np.zeros((1, 9)), 0]]) # type: ignore
# Invoke solver
scs_kwargs = {
_scs_kwarg_map[k]: v
for k, v in zip(
["eps", "max_iters", "verbose"],
[eps, max_iters, verbose],
)
}
results = scs.solve(
{"A": _A, "b": _b, "c": _vech10(Q, 2)}, # data
_CONES,
**scs_kwargs,
)
# Invoke solver
Z = _vech10_inv(results["x"])
if np.any(np.isnan(Z)):
if verbose:
warnings.warn(
"The SDP solver did not return a valid solution. Increasing max_iters might solve the issue."
)
return [(np.full((3, 3), np.nan), np.full(3, np.nan))]
vals, vecs = np.linalg.eigh(Z)
# check for rank
rank = np.sum(vals > 1e-3)
r_c = None
if rank == 1:
r_c = (vecs[:-1, -1] / vecs[-1, -1])[None, :]
else:
r_c = _constraint_ortho_det(vecs, rank)
# project to valid rotation spaces
U, _, Vh = np.linalg.svd(r_c.reshape(-1, 3, 3))
R = U @ Vh
r = R.reshape(-1, 9)
t = -r @ B.T
# Optimality guarantees
res = r @ A.T
if np.any(np.abs(np.sum(res * res, axis=-1) - results["info"]["dobj"]) > eps):
not_certifiable = "The solution is not certifiably optimal."
warnings.warn(not_certifiable)
return list(zip(R.transpose(0, 2, 1), t))
def pnp(
pts_2d: np.ndarray,
pts_3d: np.ndarray,
K: np.ndarray,
eps: float = 1e-9,
max_iters: int = 2500,
verbose: bool = False,
) -> List[Tuple[np.ndarray, np.ndarray]]:
"""Compute object poses from point 2D-3D correspondences.
Arguments:
pts_2d -- n x 2 np.array of 2D pixels
pts_3d -- n x 3 np.array of 3D points
K -- 3 x 3 np.array with the camera intrinsics
eps -- numerical precision of the solver
max_iters -- maximum number of iterations the solver is allowed to perform
verbose -- print additional solver information to the console
"""
# Extract point constraints
(C1, C2, C3), (N1, N2, N3) = _point_constraints(pts_2d, pts_3d, K)
# Compose block matrices
C = np.vstack((C1, C2, C3))
N = np.vstack((N1, N2, N3))
B = np.linalg.solve(N.T @ N, N.T @ C)
A = C - N @ B
# Solve the QCQP using shor's relaxation
return _solve_relaxation(A, B, eps=eps, max_iters=max_iters, verbose=verbose)
def pnl(
line_2d: np.ndarray,
line_3d: np.ndarray,
K: np.ndarray,
eps: float = 1e-9,
max_iters: int = 2500,
verbose: bool = False,
) -> List[Tuple[np.ndarray, np.ndarray]]:
"""Compute object poses from line 2D-3D correspondences.
Arguments:
line_2d -- n x 2 x 2 np.array organized as (line, pt, dim). Each line is defined
by sampling 2 points from it. Each point is a pixel in 2D.
line_3d -- A n x 2 x 3 np.array organized as (line, pt, dim). Each line is defined
by 2 points. The points reside in 3D.
K -- 3 x 3 np.array with the camera intrinsics.
eps -- numerical precision of the solver
max_iters -- maximum number of iterations the solver is allowed to perform
verbose -- print additional solver information to the console
"""
# Extract point constraints
C, N = _line_constraints(line_2d, line_3d, K)
# Compose block matrices
B = np.linalg.solve(N.T @ N, N.T @ C)
A = C - N @ B
# Solve the QCQP using shor's relaxation
return _solve_relaxation(A, B, eps=eps, max_iters=max_iters, verbose=verbose)
def pnpl(
pts_2d: np.ndarray,
line_2d: np.ndarray,
pts_3d: np.ndarray,
line_3d: np.ndarray,
K: np.ndarray,
eps: float = 1e-9,
max_iters: int = 2500,
verbose: bool = False,
) -> List[Tuple[np.ndarray, np.ndarray]]:
"""Compute object poses from point and line 2D-3D correspondences.
Arguments:
pts_2d -- n x 2 np.array of 2D pixels
line_2d -- n x 2 x 2 np.array organized as (line, pt, dim). Each line is defined
by sampling 2 points from it. Each point is a pixel in 2D.
pts_3d -- n x 3 np.array of 3D points
line_3d -- A n x 2 x 3 np.array organized as (line, pt, dim). Each line is defined
by 2 points. The points reside in 3D.
K -- 3 x 3 np.array with the camera intrinsics.
eps -- numerical precision of the solver
max_iters -- maximum number of iterations the solver is allowed to perform
verbose -- print additional solver information to the console
"""
# Extract point constraints
(Cp1, Cp2, Cp3), (Np1, Np2, Np3) = _point_constraints(
pts_2d=pts_2d.reshape((-1, 2)), pts_3d=pts_3d.reshape((-1, 3)), K=K
)
# Extract line constraints
Cl, Nl = _line_constraints(line_2d.reshape((-1, 2, 2)), line_3d, K)
# Compose block matrices
C = np.vstack((Cp1, Cp2, Cp3, Cl))
N = np.vstack((Np1, Np2, Np3, Nl))
# Compose block matrices
B = np.linalg.solve(N.T @ N, N.T @ C)
A = C - N @ B
# Solve the QCQP using shor's relaxation
return _solve_relaxation(A, B, eps=eps, max_iters=max_iters, verbose=verbose)